数学2 複素数問題 4 解説

方針・初手

与えられた等式の左辺を展開し、$A + Bi$（$A, B$ は実数）の形に整理する。$x, y$ が実数であるという条件から、「複素数が $0$ に等しいならば、実部と虚部はともに $0$ である」という複素数の相等条件を用いて、実数 $x, y$ についての連立方程式を導く。

解法1

与えられた等式は、

$$(1+2i)x^2 + (2+yi)x - 3(1+i) = 0$$

左辺を展開して、$i$ について整理すると、

$$x^2 + 2x^2 i + 2x + xy i - 3 - 3i = 0$$

$$(x^2 + 2x - 3) + (2x^2 + xy - 3)i = 0$$

ここで、$x, y$ は実数であるから、$x^2 + 2x - 3$ と $2x^2 + xy - 3$ も実数である。したがって、複素数の相等条件より、次の2つの等式が成り立つ。

$$x^2 + 2x - 3 = 0 \quad \cdots \text{①}$$

$$2x^2 + xy - 3 = 0 \quad \cdots \text{②}$$

①を解くと、

$$(x+3)(x-1) = 0$$

$$x = -3, 1$$

(i) $x = -3$ のとき

②に代入すると、

$$2 \cdot (-3)^2 + (-3) \cdot y - 3 = 0$$

$$18 - 3y - 3 = 0$$

$$-3y + 15 = 0$$

$$y = 5$$

(ii) $x = 1$ のとき

②に代入すると、

$$2 \cdot 1^2 + 1 \cdot y - 3 = 0$$

$$2 + y - 3 = 0$$

$$y - 1 = 0$$

$$y = 1$$

以上より、求める実数 $x, y$ の値の組は $2$ つ存在する。

解説

複素数を含む等式から実数の値を求める、複素数の相等条件を用いた典型的な問題である。等式を実部と虚部に分け、「$A, B$ が実数のとき、$A+Bi=0 \iff A=0 \text{ かつ } B=0$」を用いるための前提として、「$x, y$ が実数である」という断りを必ず記述しなければならない。記述式答案ではこの一言が抜けやすいため注意が必要である。