数学2 複素数 問題 5 解説

方針・初手

方程式が純虚数解をもつという条件から、その解を $x = bi$（$b$ は実数、$b \neq 0$）とおく。これを元の方程式に代入し、左辺を実部と虚部に整理したうえで、複素数の相等条件（実部 $= 0$ かつ 虚部 $= 0$）を利用して $b$ と $k$ の連立方程式を導く。

解法1

与えられた方程式が純虚数解をもつので、その解を $x = bi$（$b$ は実数、$b \neq 0$）とおく。

これを方程式 $(1+i)x^2 + (k+i)x + 3 - 3ki = 0$ に代入すると、

$$(1+i)(bi)^2 + (k+i)(bi) + 3 - 3ki = 0$$

$i^2 = -1$ より、展開して整理する。

$$-b^2(1+i) + kbi - b + 3 - 3ki = 0$$

$$-b^2 - b^2i + kbi - b + 3 - 3ki = 0$$

実部と虚部についてまとめると、

$$(-b^2 - b + 3) + (-b^2 + kb - 3k)i = 0$$

$b, k$ は実数であるから、$-b^2 - b + 3$ および $-b^2 + kb - 3k$ も実数である。したがって、複素数の相等条件より以下の連立方程式が成り立つ。

$$\begin{cases} -b^2 - b + 3 = 0 & \dots (1) \\ -b^2 + kb - 3k = 0 & \dots (2) \end{cases}$$

(1)より $b^2 = -b + 3$ である。これを(2)に代入して $b^2$ を消去する。

$$-(-b + 3) + kb - 3k = 0$$

$$b - 3 + kb - 3k = 0$$

$$(k+1)b - 3(k+1) = 0$$

$$(k+1)(b-3) = 0$$

したがって、$k = -1$ または $b = 3$ である。

(i) $k = -1$ のとき

(2)の式は $-b^2 - b + 3 = 0$ となり、(1)と完全に一致する。

このとき、(1)から $b^2 + b - 3 = 0$ となり、その解は $b = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$ である。

これは $b \neq 0$ を満たす実数であるため、与えられた方程式はたしかに純虚数解をもつ。よって $k = -1$ は条件を満たす。

(ii) $b = 3$ のとき

これを(1)に代入すると、

$$-3^2 - 3 + 3 = -9 \neq 0$$

となり、(1)の等式を満たさない。よって不適である。

以上より、求める $k$ の値は $k = -1$ である。

解説

複素数係数の方程式に未知の解を代入し、実部と虚部の連立方程式に帰着させる典型的な問題である。方程式の係数に虚数が含まれているため、実数係数方程式のように判別式を用いて解の性質を議論することはできない点に注意が必要である。

また、「純虚数解」という条件から、設定した文字 $b$ について $b \neq 0$ を満たすことの確認を忘れないようにしたい。

答え

$k = -1$