数学2 複素数 問題 6 解説

方針・初手

(1) は因数分解の公式 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ を利用する。

(2) は $1+\omega+\omega^2=0$ を用いて底を簡単な形に変形し、(1) の結果を適用する。

(3) は二項定理を用いて $(1+x)^{3n}$ を展開し、$x=\omega$ を代入する。その後、得られた式の実部と虚部に注目して係数比較を行う。

解法1

(1)

$\omega^3 - 1$ を因数分解すると、

$$\omega^3 - 1 = (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1)$$

となる。条件より $1+\omega+\omega^2=0$ であるから、

$$\omega^3 - 1 = (\omega - 1) \cdot 0 = 0$$

となり、$\omega^3 = 1$ が成り立つ。

(2)

$1+\omega+\omega^2=0$ より、$1+\omega = -\omega^2$ である。

したがって、

$$(1+\omega)^{3n} = (-\omega^2)^{3n} = (-1)^{3n} (\omega^2)^{3n} = (-1)^{3n} \omega^{6n}$$

となる。

$n$ は自然数であるから、$(-1)^{3n} = ((-1)^3)^n = (-1)^n$ である。

また、(1) より $\omega^3 = 1$ であるから、$\omega^{6n} = (\omega^3)^{2n} = 1^{2n} = 1$ である。

ゆえに、

$$(1+\omega)^{3n} = (-1)^n \cdot 1 = (-1)^n$$

が成り立つ。

(3)

二項定理により、

$$(1+x)^{3n} = \sum_{r=0}^{3n} {}_{3n}\mathrm{C}_{r} x^r$$

が成り立つ。この式に $x=\omega$ を代入すると、

$$(1+\omega)^{3n} = \sum_{r=0}^{3n} {}_{3n}\mathrm{C}_{r} \omega^r$$

となる。

右辺の和を、$r$ を $3$ で割った余りによって分割する。

$r=3k$ のとき、$\omega^{3k} = (\omega^3)^k = 1^k = 1$

$r=3k+1$ のとき、$\omega^{3k+1} = \omega^{3k} \cdot \omega = \omega$

$r=3k+2$ のとき、$\omega^{3k+2} = \omega^{3k} \cdot \omega^2 = \omega^2$

であるから、

$$\sum_{r=0}^{3n} {}_{3n}\mathrm{C}_{r} \omega^r = \sum_{k=0}^{n} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k} + \left( \sum_{k=0}^{n-1} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k+1} \right) \omega + \left( \sum_{k=0}^{n-1} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k+2} \right) \omega^2$$

と表せる。ここで、簡略化のため、

$$A = \sum_{k=0}^{n} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k}, \quad B = \sum_{k=0}^{n-1} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k+1}, \quad C = \sum_{k=0}^{n-1} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k+2}$$

とおくと、

$$(1+\omega)^{3n} = A + B\omega + C\omega^2$$

となる。また、$\omega^2 = -1-\omega$ であるから、これを代入すると、

$$(1+\omega)^{3n} = A + B\omega + C(-1-\omega) = (A-C) + (B-C)\omega$$

となる。

(2) より $(1+\omega)^{3n} = (-1)^n$ であるから、

$$(-1)^n = (A-C) + (B-C)\omega$$

$$(A-C - (-1)^n) + (B-C)\omega = 0$$

が成り立つ。

ここで、$\omega$ は $1+\omega+\omega^2=0$ の解であり、解の公式より $\omega = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ となるため、$\omega$ は虚数である。

一方、$A, B, C, (-1)^n$ はすべて実数である。

実数 $p, q$ について、$p+q\omega = 0$ ならば $p=0$ かつ $q=0$ が成り立つので、

$$A-C - (-1)^n = 0, \quad B-C = 0$$

となる。

これより、$B-C=0$ すなわち、

$$\sum_{k=0}^{n-1} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k+1} - \sum_{k=0}^{n-1} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k+2} = 0$$

が成り立つ。

また、$A-C = (-1)^n$ に $C=B$ を代入して、$A-B = (-1)^n$ すなわち、

$$\sum_{k=0}^{n} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k} - \sum_{k=0}^{n-1} {}_{3n}\mathrm{C}_{3k+1} = (-1)^n$$

が成り立つ。

以上により、与えられた2つの等式が成り立つことが示された。

解説

1の虚数立方根 $\omega$ に関する典型的な問題である。$\omega^3=1$ と $\omega^2+\omega+1=0$ を自由に行き来して次数下げを行う手法は、入試において頻出である。

(3) は二項係数の和を求める問題であり、$(1+x)^m$ の展開式に虚数（特に1の累乗根）を代入して、係数の周期性を取り出す手法を用いている。実数部分と虚数部分を比較する際に、「$\omega$ が虚数であること」を断ってから係数比較を行う論証が重要となる。

答え

(1) 題意の通り証明された。

(2) 題意の通り証明された。

(3) 題意の通り証明された。