数学2 複素数問題 7 解説

方針・初手

与えられた複素数 $z$ と $w$ を扱いやすい形に変形してから累乗の計算を行う。 $z$ については、方程式を作成して次数を下げるか、極形式で表してド・モアブルの定理を利用する。$w$ については、分母を実数化して整理してから累乗を計算する。

解法1

$z = \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ より、$2z - 1 = -\sqrt{3}i$ である。両辺を2乗すると、

$$(2z - 1)^2 = (-\sqrt{3}i)^2$$

$$4z^2 - 4z + 1 = -3$$

$$z^2 - z + 1 = 0$$

両辺に $z + 1$ を掛けると、

$$(z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$$

$$z^3 + 1 = 0$$

すなわち、$z^3 = -1$ を得る。また、$z^2 = z - 1$ である。これらを用いて累乗の次数を下げる。

$$\begin{aligned} z^{11} &= (z^3)^3 \cdot z^2 \\ &= (-1)^3 \cdot (z - 1) \\ &= -z + 1 \\ &= -\frac{1 - \sqrt{3}i}{2} + 1 \\ &= \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \end{aligned}$$

また、$2000 = 3 \times 666 + 2$ より、

$$\begin{aligned} z^{2000} &= (z^3)^{666} \cdot z^2 \\ &= (-1)^{666} \cdot (z - 1) \\ &= 1 \cdot (z - 1) \\ &= \frac{1 - \sqrt{3}i}{2} - 1 \\ &= \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \end{aligned}$$

次に、$w$ について、分母を実数化する。

$$\begin{aligned} w &= \frac{5 - i}{2 - 3i} \\ &= \frac{(5 - i)(2 + 3i)}{(2 - 3i)(2 + 3i)} \\ &= \frac{10 + 15i - 2i - 3i^2}{2^2 + 3^2} \\ &= \frac{10 + 13i + 3}{13} \\ &= \frac{13 + 13i}{13} \\ &= 1 + i \end{aligned}$$

ここで $w^2$ を計算すると、

$$w^2 = (1 + i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$$

となるため、これを用いて次数を下げる。

$$\begin{aligned} w^7 &= (w^2)^3 \cdot w \\ &= (2i)^3 (1 + i) \\ &= -8i (1 + i) \\ &= -8i - 8i^2 \\ &= 8 - 8i \end{aligned}$$

解法2

複素数を極形式で表し、ド・モアブルの定理を利用する。 $z$ を極形式で表すと、

$$z = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$$

ド・モアブルの定理より、

$$\begin{aligned} z^{11} &= \cos\left(-\frac{11\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{11\pi}{3}\right) \\ &= \cos\left(-4\pi + \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-4\pi + \frac{\pi}{3}\right) \\ &= \cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3} \\ &= \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \end{aligned}$$

同様に、$z^{2000}$ を計算する。

$$\begin{aligned} z^{2000} &= \cos\left(-\frac{2000\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2000\pi}{3}\right) \\ &= \cos\left(-666\pi - \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-666\pi - \frac{2\pi}{3}\right) \\ &= \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \\ &= \frac{-1 - \sqrt{3}i}{2} \end{aligned}$$

$w$ については、解法1と同様に分母を実数化して $w = 1 + i$ を得る。これを極形式で表すと、

$$w = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

ド・モアブルの定理より、

$$\begin{aligned} w^7 &= (\sqrt{2})^7 \left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right) \\ &= 8\sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}i\right) \\ &= 8 - 8i \end{aligned}$$

解説

複素数の高次計算における典型問題である。与えられた複素数をそのまま累乗するのではなく、性質を見抜いて計算量を減らす工夫が必要になる。 $z$ のような $\frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ や $\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ の形は、1の3乗根やその符号違いに関連する数値であるため、$z^3 = \pm 1$ となる方程式を導く手法（解法1）が素早く、かつ計算ミスも防ぎやすい。一方、極形式に直してド・モアブルの定理を用いる手法（解法2）も万能であり、角度の計算に帰着できるため確実である。 $w$ については、まず分母を有理化（実数化）し、形を簡潔にすることが定石である。$1 \pm i$ の形が現れた場合は、2乗すると純虚数になる性質を利用すると計算が非常に楽になる。