数学2 複素数 問題 8 解説

方針・初手

与えられた複素数 $\alpha$ と、計算式に含まれる $\alpha+2$ について、高次式の計算が求められている。このような場合、複素数を極形式で表してド・モアブルの定理を用いる方針が基本となる。

また、$\alpha$ が満たす2次方程式を作成し、式の次数を下げたり形を整えたりする工夫も有効である。

解法1

$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ を極形式で表すと、

$$\alpha = 2\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)$$

となる。ド・モアブルの定理より、

$$\alpha^3 = 2^3(\cos\pi + i\sin\pi) = 8 \cdot (-1) = -8$$

である。次に、$\alpha + 2$ を計算すると、

$$\alpha + 2 = (1 + \sqrt{3}i) + 2 = 3 + \sqrt{3}i$$

これを極形式で表すと、絶対値は $\sqrt{3^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ であるから、

$$\alpha + 2 = 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2\sqrt{3}\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)$$

となる。再びド・モアブルの定理を用いると、

$$\begin{aligned} (\alpha + 2)^6 &= (2\sqrt{3})^6(\cos\pi + i\sin\pi) \\ &= 2^6 \cdot (\sqrt{3})^6 \cdot (-1) \\ &= 64 \cdot 27 \cdot (-1) \\ &= -1728 \end{aligned}$$

したがって、求める式の値は、

$$\frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3} = \frac{-1728}{-8} = 216$$

となる。

解法2

$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ より、

$$\alpha - 1 = \sqrt{3}i$$

両辺を2乗すると、

$$\alpha^2 - 2\alpha + 1 = -3$$

整理して、$\alpha$ が満たす2次方程式を得る。

$$\alpha^2 - 2\alpha + 4 = 0$$

これより、$\alpha^2 = 2\alpha - 4$ である。これを用いて $(\alpha+2)^2$ を展開し、次数を下げる。

$$\begin{aligned} (\alpha+2)^2 &= \alpha^2 + 4\alpha + 4 \\ &= (2\alpha - 4) + 4\alpha + 4 \\ &= 6\alpha \end{aligned}$$

これを利用して、分子の $(\alpha+2)^6$ を計算する。

$$(\alpha+2)^6 = \{(\alpha+2)^2\}^3 = (6\alpha)^3 = 216\alpha^3$$

$\alpha \neq 0$ より $\alpha^3 \neq 0$ であるから、求める式の値は、

$$\frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3} = \frac{216\alpha^3}{\alpha^3} = 216$$

となる。

解説

複素数の累乗の計算においては、極形式に直してド・モアブルの定理を用いるのが定石である。本問の $\alpha$ や $\alpha+2$ はどちらも偏角が有名角となるため、素直に極形式を適用して答えに辿り着くことができる。

一方で、解法2のように与えられた複素数が満たす方程式を作り、それを利用して次数を下げる手法も非常に強力である。本問では $(\alpha+2)^2 = 6\alpha$ という関係が導かれることで、$\alpha^3$ の値を具体的に求めることなく約分によって答えが出せるため、計算量を大幅に削減できる。

答え

216