数学2 複素数 問題 9 解説

方針・初手

与えられた等式の左辺を展開し、$A+Bi$ の形に整理する。$x, y$ が実数であるという条件から、複素数の相等条件（実部と実部、虚部と虚部がそれぞれ等しい）を用いて連立方程式を立てる。

解法1

与えられた等式は

$$(1+2i)(x+i) = y+xi$$

である。左辺を展開して整理すると

$$x + i + 2xi + 2i^2 = y + xi$$

$$(x - 2) + (2x + 1)i = y + xi$$

となる。

ここで、$x, y$ は実数であるから、$x-2$、$2x+1$、$y$、$x$ もすべて実数である。

複素数の相等条件より、両辺の実部と虚部をそれぞれ比較して

$$\begin{cases} x - 2 = y \\ 2x + 1 = x \end{cases}$$

が成り立つ。

第2式より

$$x = -1$$

である。

これを第1式に代入して

$$y = -1 - 2 = -3$$

を得る。

したがって、求める値は $(x, y) = (-1, -3)$ である。

解説

複素数の等式を扱う際の基本問題である。$A, B, C, D$ が実数のとき、$A+Bi = C+Di \iff A=C \text{ かつ } B=D$ が成り立つという性質を利用する。この性質を用いるためには、実部と虚部にあたる部分が実数であるという断り書き（本問では $x, y$ が実数であることの確認）を忘れないように記述することが重要である。

答え

$(x, y) = (-1, -3)$