数学2 複素数 問題 11 解説

方針・初手

与えられた複素数 $z$ の式を展開し、$z = A + Bi$（$A, B$ は実数）の形に整理する。$z$ が実数になるための条件は、その虚部 $B$ が $0$ になることである。

解法1

$z = \frac{(a+i)^3}{i}$ を変形する。$\frac{1}{i} = -i$ であることを用いると、

$$\begin{aligned} z &= -i (a+i)^3 \\ &= -i (a^3 + 3a^2 i + 3a i^2 + i^3) \end{aligned}$$

$i^2 = -1, i^3 = -i$ であるから、かっこの中を整理する。

$$\begin{aligned} z &= -i \{ a^3 + 3a^2 i + 3a(-1) - i \} \\ &= -i \{ (a^3 - 3a) + (3a^2 - 1)i \} \\ &= -i(a^3 - 3a) - i^2(3a^2 - 1) \\ &= (3a^2 - 1) - (a^3 - 3a)i \end{aligned}$$

$a$ は実数であるため、$3a^2 - 1$ と $-(a^3 - 3a)$ も実数である。$z$ が実数となるための条件は、虚部が $0$ となることであるから、

$$-(a^3 - 3a) = 0$$

$$a(a^2 - 3) = 0$$

条件より $a > 0$ であるため、

$$a = \sqrt{3}$$

このとき、$z$ の値は実部 $3a^2 - 1$ に等しいため、$a = \sqrt{3}$ を代入して、

$$\begin{aligned} z &= 3(\sqrt{3})^2 - 1 \\ &= 3 \times 3 - 1 \\ &= 8 \end{aligned}$$

解説

複素数が実数となる条件「虚部が $0$ になること」を用いる基本的な問題である。式の整理において、分母に虚数単位 $i$ がある場合は $\frac{1}{i} = -i$ を用いて掛け算の形に直すと計算が見やすくなる。実部と虚部を正しく分けることができれば、容易に解答にたどり着くことができる。

答え

ア：$\sqrt{3}$

イ：$8$