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数学2 複素数問題 12 解説

方針・初手

(1) については、分母の共役複素数を掛けて分母を実数化するか、そのまま通分して計算する。

(2) については、求める複素数を $x+yi$（$x, y$ は実数）とおき、2乗して実部と虚部を比較するか、極形式を用いてド・モアブルの定理を適用する。

(3) については、$\omega$ が $x^3=1$ の虚数解であることから、$\omega^3=1$ および $\omega^2+\omega+1=0$ を導き、これらを利用して式を簡単にする。

解法1

(1) 与式を通分して計算する。

$$ \frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i} = \frac{(2+5i)(4-i) - i(4+i)}{(4+i)(4-i)} $$

分母は $(4+i)(4-i) = 16 - i^2 = 16 - (-1) = 17$ である。

分子を展開すると、

$$ (8 - 2i + 20i - 5i^2) - (4i + i^2) = (8 + 18i + 5) - (4i - 1) = 13 + 18i - 4i + 1 = 14 + 14i $$

となる。よって、

$$ \frac{2+5i}{4+i} - \frac{i}{4-i} = \frac{14+14i}{17} $$

である。

(2) 求める複素数を $z = x+yi$（$x, y$ は実数）とおく。 $z^2 = 16i$ より、

$$ (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = 16i $$

$x, y$ は実数であるから、実部と虚部を比較して以下の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0 & \cdots \text{(A)} \\ 2xy = 16 & \cdots \text{(B)} \end{cases} $$

(A) より $(x+y)(x-y) = 0$ すなわち $y = x$ または $y = -x$ である。

$y=x$ のとき、(B) に代入して $2x^2 = 16$ となり、$x^2 = 8$ より $x = \pm 2\sqrt{2}$ を得る。このとき、$(x, y) = (2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}), (-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$ となる。

$y=-x$ のとき、(B) に代入して $-2x^2 = 16$ となり、$x^2 = -8$ を得る。これを満たす実数 $x$ は存在しない。

したがって、求める複素数は $2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$ と $-2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i$ である。

(3) $\omega$ は1の3乗根のうち虚数であるものだから、$\omega^3 = 1$ かつ $\omega \neq 1$ を満たす。 $\omega^3 - 1 = (\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ と $\omega \neq 1$ より、

$$ \omega^2 + \omega + 1 = 0 $$

が成り立つ。

まず、$\omega^2 + \omega = -1$ である。

次に、$\omega^3 = 1$ より $\omega^{10} = (\omega^3)^3 \cdot \omega = \omega$、$\omega^5 = \omega^3 \cdot \omega^2 = \omega^2$ であるから、

$$ \omega^{10} + \omega^5 = \omega + \omega^2 = -1 $$

である。

また、通分して計算すると、

$$ \frac{1}{\omega^{10}} + \frac{1}{\omega^5} + 1 = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + 1 = \frac{\omega^2 + \omega + \omega^3}{\omega^3} = \frac{\omega^2 + \omega + 1}{1} = 0 $$

である。

最後に、与式を展開して計算する。

$$ (\omega^2+5\omega)^2+(5\omega^2+\omega)^2 = (\omega^4 + 10\omega^3 + 25\omega^2) + (25\omega^4 + 10\omega^3 + \omega^2) $$

$$ = 26\omega^4 + 20\omega^3 + 26\omega^2 $$

$\omega^3 = 1, \omega^4 = \omega$ より、

$$ 26\omega + 20 + 26\omega^2 = 26(\omega^2 + \omega) + 20 = 26(-1) + 20 = -6 $$

である。

解法2

(2) について、極形式を用いる別解を示す。

$z^2 = 16i$ とする。右辺の $16i$ を極形式で表すと、

$$ 16i = 16 \left( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right) $$

となる。一方、$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$（$r > 0, 0 \le \theta < 2\pi$）とおくと、ド・モアブルの定理より

$$ z^2 = r^2(\cos 2\theta + i \sin 2\theta) $$

となる。両辺の絶対値と偏角を比較して、

$$ r^2 = 16 $$

$$ 2\theta = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \quad (k \text{ は整数}) $$

$r > 0$ より $r = 4$ である。また、$\theta = \frac{\pi}{4} + k\pi$ であり、$0 \le \theta < 2\pi$ を満たすのは $k=0, 1$ のときである。

$k=0$ のとき $\theta = \frac{\pi}{4}$ であり、

$$ z = 4 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) = 4 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i $$

$k=1$ のとき $\theta = \frac{5}{4}\pi$ であり、

$$ z = 4 \left( \cos \frac{5}{4}\pi + i \sin \frac{5}{4}\pi \right) = 4 \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}i $$

となる。

解説

複素数の基本的な計算と性質を問う問題である。 (1)は分母の実数化（または通分）を正確に行う計算力が求められる。 (2)のように「2乗して純虚数になる複素数」を求める問題は頻出である。$x+yi$ と置く解法1と、極形式を用いる解法2のどちらでもスムーズに解けるようにしておきたい。 (3)の $\omega$ に関する問題は、$\omega^3=1$ を用いて次数を下げ、$\omega^2+\omega+1=0$ を用いて式を簡単にするという手順が定石である。高い次数の項を基本対称式のような形に持ち込むと計算が見通しやすい。