数学2 複素数 問題 13 解説

方針・初手

• 方程式が実数解 $x=\alpha$ をもつという条件を扱うため、方程式に $x=\alpha$ を代入する。
• 左辺を展開し、実部と虚部に整理したうえで、複素数の相等条件（「実部 $=0$」かつ「虚部 $=0$」）を用いて連立方程式を導く。

解法1

(1)

方程式 $x^2 + (3+2i)x + k(2+i)^2 = 0$ が実数解 $x=\alpha$ をもつので、代入して成立する。

$$\alpha^2 + (3+2i)\alpha + k(3+4i) = 0$$

左辺を展開し、$i$ について整理する。

$$(\alpha^2 + 3\alpha + 3k) + (2\alpha + 4k)i = 0$$

$\alpha, k$ は実数であるから、$\alpha^2 + 3\alpha + 3k$ と $2\alpha + 4k$ も実数である。したがって、複素数の相等条件より以下の連立方程式が成り立つ。

$$\begin{cases} \alpha^2 + 3\alpha + 3k = 0 & \cdots \text{①} \\ 2\alpha + 4k = 0 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

②より、

$$\alpha = -2k \cdots \text{③}$$

これを①に代入する。

$$(-2k)^2 + 3(-2k) + 3k = 0$$

$$4k^2 - 3k = 0$$

$$k(4k - 3) = 0$$

問題の条件より $k \neq 0$ であるから、

$$k = \frac{3}{4}$$

このとき、③より、

$$\alpha = -2 \cdot \frac{3}{4} = -\frac{3}{2}$$

(2)

(1)より、与えられた方程式の1つの解は $x = -\frac{3}{2}$ である。もう1つの解を $\beta$ とおく。 2次方程式の解と係数の関係より、2つの解の和について次が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -(3+2i)$$

$\alpha = -\frac{3}{2}$ を代入する。

$$-\frac{3}{2} + \beta = -3 - 2i$$

これを $\beta$ について解く。

$$\beta = -3 - 2i + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - 2i$$

以上より、等式を満たす複素数 $x$ は $\alpha$ と $\beta$ である。

解法2

(2)の別解

(1)で求めた $k = \frac{3}{4}$ をもとの方程式に代入する。

$$x^2 + (3+2i)x + \frac{3}{4}(3+4i) = 0$$

両辺に $4$ を掛けて整理する。

$$4x^2 + 4(3+2i)x + 9+12i = 0$$

$x = -\frac{3}{2}$ が解であることから、左辺は $(2x+3)$ を因数にもつ。これを用いて左辺を因数分解する。

$$(2x+3)\{2x + (3+4i)\} = 0$$

これより、

$$2x+3 = 0 \quad \text{または} \quad 2x+3+4i = 0$$

したがって、等式を満たす複素数 $x$ は、

$$x = -\frac{3}{2}, \ -\frac{3}{2}-2i$$

解説

• 複素数係数の方程式が実数解をもつという条件は、実数解を文字でおいて代入し、実部と虚部に分けることで処理できる。このとき、実部と虚部がそれぞれ実数であるという断りを忘れないように記述する。
• 2次方程式の1つの解がわかっている状況で残りの解を求めるには、因数分解を直接実行するよりも、解と係数の関係を利用する方が計算量が少なく、計算ミスのリスクを減らすことができる。

答え

(1) $k = \frac{3}{4}, \alpha = -\frac{3}{2}$

(2) $x = -\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}-2i$