数学2 複素数問題 14 解説

方針・初手

$1$ の $3$ 乗根のうち、虚数であるものの $1$ つを $\omega$ とおくとき、定義から $\omega^3 = 1$ が成り立つ。また、$\omega^3 - 1 = 0$ を因数分解すると $(\omega - 1)(\omega^2 + \omega + 1) = 0$ となる。$\omega$ は虚数であるから $\omega \neq 1$ であり、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ が成り立つ。この $2$ つの等式 $\omega^3 = 1$ と $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を用いて、式の次数を下げていくことが基本方針である。

解法1

$\omega^3 = 1$ と $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を用いて、与えられた式の値を求める。

まず、アの式を変形する。$\omega^4 = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega$ であるから、

$$\begin{aligned} \omega^4 + \omega^3 + 3\omega^2 + 2\omega + 1 &= \omega + 1 + 3\omega^2 + 2\omega + 1 \\ &= 3\omega^2 + 3\omega + 2 \\ &= 3(\omega^2 + \omega) + 2 \end{aligned}$$

となる。ここで、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ より $\omega^2 + \omega = -1$ であるから、これを代入して、

$$3(-1) + 2 = -1$$

を得る。これがアの答えである。

次に、イの式を考える。求める和を $S$ とおくと、

$$S = 1 + \omega + \omega^2 + \cdots + \omega^{99}$$

これは、初項 $1$、公比 $\omega$、項数 $100$ の等比数列の和である。$\omega \neq 1$ であるから、等比数列の和の公式を用いると、

$$S = \frac{1 \cdot (1 - \omega^{100})}{1 - \omega}$$

となる。ここで、$\omega^{100} = (\omega^3)^{33} \cdot \omega = 1^{33} \cdot \omega = \omega$ であるから、

$$S = \frac{1 - \omega}{1 - \omega} = 1$$

となる。これがイの答えである。

解法2

イの計算について、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を用いる別の解法を示す。

連続する $3$ つの項の和は、自然数 $k$ に対して、

$$\omega^k + \omega^{k+1} + \omega^{k+2} = \omega^k (1 + \omega + \omega^2) = \omega^k \cdot 0 = 0$$

となる。つまり、$\omega$ の累乗の和は、$3$ 項ずつまとめるごとに $0$ になる。

求める和の項数は $100$ 個であり、$100 = 3 \times 33 + 1$ と表せる。したがって、次のように項を $3$ つずつまとめることができる。

$$\begin{aligned} & \omega^{99} + \omega^{98} + \cdots + \omega^2 + \omega + 1 \\ &= (\omega^{99} + \omega^{98} + \omega^{97}) + \cdots + (\omega^3 + \omega^2 + \omega) + 1 \\ &= 0 + \cdots + 0 + 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

よって、イの答えは $1$ である。

解説

$1$ の $3$ 乗根 $\omega$ に関する問題は、$\omega^3 = 1$ と $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ の $2$ 式を自在に操れるかが鍵となる。特に高次式の値や和を求める際には、$\omega^3 = 1$ を用いてすべての項の次数を $2$ 次以下に下げること、そして $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ を用いて $\omega^2 + \omega = -1$ などの形を作り出すことが定石である。また、累乗の和においては、「連続する $3$ 項の和が $0$ になる」という周期性を利用すると、計算量を大幅に減らすことができる。これは等比数列の和の公式を用いる方法と同じくらい重要な発想であるため、確実に押さえておきたい。