数学2 因数定理･剰余の定理 問題 3 解説

方針・初手

与えられた4次式が2次式で割り切れるという条件から、剰余が $0$ になることを利用する。 解法としては、商を2次式で設定して恒等式として係数比較を行う方法と、実際に多項式の割り算を実行して余りが $0$ となる条件を求める方法がある。どちらも自然なアプローチである。

解法1

$x^4 + x^2 + b$ が $x^2 + ax + 1$ で割り切れるとき、商は2次式であり、$x^4$ の係数が $1$ であることから、商を $x^2 + cx + d$ （$c, d$ は定数）とおくことができる。

条件より、次の等式が $x$ についての恒等式となる。

$$x^4 + x^2 + b = (x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + d)$$

右辺を展開して整理する。

$$\begin{aligned} (x^2 + ax + 1)(x^2 + cx + d) &= x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + x^2 + cx + d \\ &= x^4 + (a + c)x^3 + (1 + ac + d)x^2 + (ad + c)x + d \end{aligned}$$

両辺の同じ次数の項の係数を比較すると、以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} a + c = 0 & \cdots \text{①} \\ 1 + ac + d = 1 & \cdots \text{②} \\ ad + c = 0 & \cdots \text{③} \\ d = b & \cdots \text{④} \end{cases}$$

①より、

$$c = -a$$

である。これを②に代入すると、

$$1 - a^2 + d = 1$$

$$d = a^2$$

となる。次に、$c = -a$ と $d = a^2$ を③に代入する。

$$a^3 - a = 0$$

$$a(a^2 - 1) = 0$$

$$a(a + 1)(a - 1) = 0$$

これを解いて、

$$a = 0, \pm 1$$

を得る。最後に、④に $d = a^2$ を代入すると、

$$b = a^2$$

であるから、それぞれの $a$ の値に対する $b$ の値は次のようになる。

(i) $a = 0$ のとき

$$b = 0^2 = 0$$

(ii) $a = 1$ のとき

$$b = 1^2 = 1$$

(iii) $a = -1$ のとき

$$b = (-1)^2 = 1$$

以上より、求める定数 $a, b$ の組が定まる。

解法2

多項式 $x^4 + x^2 + b$ を $x^2 + ax + 1$ で実際に割る。

$$\begin{aligned} x^4 + x^2 + b &= (x^2 + ax + 1)x^2 - ax^3 + b \\ &= (x^2 + ax + 1)(x^2 - ax) + (a^2 + 1)x^2 + ax + b \\ &= (x^2 + ax + 1)(x^2 - ax + a^2) - a^3x - a^2 + ax + b \\ &= (x^2 + ax + 1)(x^2 - ax + a^2) - a(a^2 - 1)x + b - a^2 \end{aligned}$$

割り切れるためには、余りである $-a(a^2 - 1)x + b - a^2$ が $x$ について恒等的に $0$ とならなければならない。

したがって、以下の条件が成り立つ。

$$-a(a^2 - 1) = 0$$

かつ

$$b - a^2 = 0$$

第1の式から、

$$a(a + 1)(a - 1) = 0$$

これを解いて、

$$a = 0, \pm 1$$

第2の式から、

$$b = a^2$$

であるため、解法1と同様に各 $a$ の値に対する $b$ の値を求める。

(i) $a = 0$ のとき $b = 0$

(ii) $a = 1$ のとき $b = 1$

(iii) $a = -1$ のとき $b = 1$

解説

多項式の割り算に関する基本的な問題である。商を設定して恒等式として処理する「未定係数法」か、実際に割り算を行って「剰余が $0$」とするかの二択が標準的である。 本問では割る式も割られる式も次数が低く、かつ欠けている次数の項（$x^3$ など）があるため、どちらの方針を採用しても計算量はそれほど多くならない。確実に計算を合わせたいところである。

答え

$(a, b) = (0, 0), (1, 1), (-1, 1)$