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数学2 因数定理･剰余の定理問題 5 解説

方針・初手

整式 $f(x)$ を $x^2+x+1$ で割った商を $Q(x)$ とおき、割り算の等式を立てることから始める。割る式が2次式、余りが1次式であることから、基本定理 $A = BQ + R$ に当てはめる。以降の計算では、$(x^2+x+1)$ の塊を意識して式変形を行うか、あるいは $x^2+x+1=0$ の虚数解を利用して次数を下げていく手法が有効である。

解法1

整式 $f(x)$ を $x^2+x+1$ で割ったときの商を $Q(x)$ とすると、条件より以下の等式が成り立つ。

$$f(x) = (x^2+x+1)Q(x) + 2x-1$$

(1)

$\{f(x)\}^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} \{f(x)\}^2 &= \{(x^2+x+1)Q(x) + 2x-1\}^2 \\ &= (x^2+x+1)^2 \{Q(x)\}^2 + 2(x^2+x+1)Q(x)(2x-1) + (2x-1)^2 \\ &= (x^2+x+1) [ (x^2+x+1)\{Q(x)\}^2 + 2Q(x)(2x-1) ] + 4x^2-4x+1 \end{aligned}$$

ここで、前半の項は $x^2+x+1$ で割り切れるため、$\{f(x)\}^2$ を $x^2+x+1$ で割った余りは、$4x^2-4x+1$ を $x^2+x+1$ で割った余りに等しい。

$4x^2-4x+1$ を変形すると、

$$\begin{aligned} 4x^2-4x+1 &= 4(x^2+x+1) - 4x - 4 - 4x + 1 \\ &= 4(x^2+x+1) - 8x - 3 \end{aligned}$$

したがって、求める余りは $-8x-3$ である。

(2)

$\{f(x)\}^2 + af(x) + b$ を $x^2+x+1$ で割る。

(1)の過程から、$\{f(x)\}^2 = (x^2+x+1)Q_1(x) - 8x - 3$ （ただし $Q_1(x)$ はある整式）と表せる。

また、$af(x) + b = a\{(x^2+x+1)Q(x) + 2x-1\} + b = (x^2+x+1)aQ(x) + 2ax - a + b$ である。

よって、

$$\begin{aligned} \{f(x)\}^2 + af(x) + b &= (x^2+x+1)Q_1(x) - 8x - 3 + (x^2+x+1)aQ(x) + 2ax - a + b \\ &= (x^2+x+1)\{Q_1(x) + aQ(x)\} + (2a-8)x - a + b - 3 \end{aligned}$$

これが $x^2+x+1$ で割り切れるということは、余りが恒等的に $0$ になるということである。

したがって、$x$ についての恒等式として次が成り立つ。

$$(2a-8)x - a + b - 3 = 0$$

$a, b$ は実数の定数であるから、係数を比較して以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} 2a - 8 = 0 \\ -a + b - 3 = 0 \end{cases}$$

これを解くと、$a = 4, b = 7$ を得る。

解法2

$x^2+x+1=0$ の解の1つを $\omega$ とおく。$\omega$ は虚数であり、$\omega^2+\omega+1=0$ が成り立つ。

したがって、$\omega^2 = -\omega-1$ である。

また、整式の割り算の等式 $f(x) = (x^2+x+1)Q(x) + 2x-1$ に $x=\omega$ を代入すると、

$$f(\omega) = 2\omega - 1$$

となる。

(1)

$\{f(\omega)\}^2$ を計算する。

$$\begin{aligned} \{f(\omega)\}^2 &= (2\omega - 1)^2 \\ &= 4\omega^2 - 4\omega + 1 \end{aligned}$$

ここで $\omega^2 = -\omega-1$ を代入する。

$$\begin{aligned} 4(-\omega-1) - 4\omega + 1 &= -4\omega - 4 - 4\omega + 1 \\ &= -8\omega - 3 \end{aligned}$$

$\{f(x)\}^2$ を2次式 $x^2+x+1$ で割った余りは1次式以下であるから、$cx+d$ （$c, d$ は実数）とおける。

$\{f(x)\}^2 = (x^2+x+1)Q_2(x) + cx+d$ とすると、両辺に $x=\omega$ を代入して

$$\{f(\omega)\}^2 = c\omega + d$$

先ほどの計算結果から $-8\omega-3 = c\omega+d$ となる。

$c, d$ は実数であり、$\omega$ は虚数であるから、複素数の相等条件より $c=-8, d=-3$ である。

よって、求める余りは $-8x-3$ である。

(2)

$\{f(x)\}^2 + af(x) + b$ が $x^2+x+1$ で割り切れる条件は、この式に $x=\omega$ を代入した値が $0$ になることである。

$$\{f(\omega)\}^2 + af(\omega) + b = 0$$

これに $\{f(\omega)\}^2 = -8\omega - 3$ と $f(\omega) = 2\omega - 1$ を代入する。

$$\begin{aligned} -8\omega - 3 + a(2\omega - 1) + b &= 0 \\ (2a - 8)\omega + (-a + b - 3) &= 0 \end{aligned}$$

$a, b$ は実数であり、$\omega$ は虚数であるため、複素数の相等条件から以下の連立方程式が成り立つ。

$$\begin{cases} 2a - 8 = 0 \\ -a + b - 3 = 0 \end{cases}$$

これを解いて、$a = 4, b = 7$ を得る。

解説

整式の割り算問題の典型的なパターンである。割る式が2次式であるため、余りは1次以下の式になるという原則を用いる。

解法1のように $(x^2+x+1)$ を括り出して余りを求める方法は合同式の考え方に通じており、直接的でわかりやすい。

解法2のように $x^2+x+1=0$ の虚数解 $\omega$ を用いる方法は、いわゆる剰余の定理の拡張であり、計算量を減らすことができる強力な手法である。$\omega$ を用いる際は、最後に係数比較を行うために「係数が実数であること」と「$\omega$ が虚数であること」を断る必要がある点に注意したい。