数学2 因数定理･剰余の定理 問題 7 解説

方針・初手

与えられた整式が $3$ 次式であり、割る式が $2$ 次式であることに着目する。商が $1$ 次式になることから商を文字でおいて恒等式を作る方法、あるいは整式が $(x-\alpha)^2$ で割り切れる条件として微分を利用する方法などが考えられる。

解法1

$ax^3 + bx^2 - 2$ は $3$ 次式、$(x+1)^2$ は $x^2$ の係数が $1$ の $2$ 次式である。 条件より、$ax^3 + bx^2 - 2$ を $(x+1)^2$ で割ったときの商は $1$ 次式であり、その $x$ の係数は $a$ となる。 したがって、商を $ax+c$ （$c$ は定数）とおくことができる。

割り切れるから、次の等式が $x$ についての恒等式となる。

$$ax^3 + bx^2 - 2 = (x+1)^2 (ax+c)$$

右辺を展開して整理する。

$$\begin{aligned} (x+1)^2 (ax+c) &= (x^2 + 2x + 1)(ax+c) \\ &= ax^3 + cx^2 + 2ax^2 + 2cx + ax + c \\ &= ax^3 + (2a+c)x^2 + (a+2c)x + c \end{aligned}$$

これが $ax^3 + bx^2 - 2$ と一致するので、両辺の各次数の係数を比較すると、以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} b = 2a + c \\ 0 = a + 2c \\ -2 = c \end{cases}$$

第 $3$ 式より $c = -2$ である。 これを第 $2$ 式に代入する。

$$a + 2(-2) = 0 \iff a = 4$$

$a = 4, c = -2$ を第 $1$ 式に代入する。

$$b = 2 \cdot 4 + (-2) = 6$$

以上より、$a = 4, b = 6$ である。

解法2

整式 $P(x) = ax^3 + bx^2 - 2$ が $(x+1)^2$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(-1) = 0$ かつ $P'(-1) = 0$ となることである。

$$P(-1) = -a + b - 2 = 0$$

より、

$$-a + b = 2 \quad \cdots (1)$$

が成り立つ。 また、$P(x)$ を $x$ で微分すると、

$$P'(x) = 3ax^2 + 2bx$$

であるから、

$$P'(-1) = 3a - 2b = 0$$

より、

$$3a = 2b \quad \cdots (2)$$

が成り立つ。

(1)より $b = a+2$ とし、これを(2)に代入する。

$$\begin{aligned} 3a &= 2(a+2) \\ 3a &= 2a + 4 \\ a &= 4 \end{aligned}$$

これを $b = a+2$ に代入して、$b = 6$ を得る。

解法3

$P(x) = ax^3 + bx^2 - 2$ が $(x+1)^2$ で割り切れるということは、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りが $0$ となり、さらにその商を $x+1$ で割った余りも $0$ になるということである。 組立除法を用いて計算する。

$$\begin{array}{r|rrrr} -1 & a & b & 0 & -2 \\ & & -a & a-b & -a+b \\ \hline & a & -a+b & a-b & \multicolumn{1}{|r}{-a+b-2} \end{array}$$

$x+1$ で割った余りが $0$ であるから、

$$-a + b - 2 = 0 \iff -a + b = 2 \quad \cdots (1)$$

さらに、商である $ax^2 + (-a+b)x + (a-b)$ を $x+1$ で割る。

$$\begin{array}{r|rrr} -1 & a & -a+b & a-b \\ & & -a & 2a-b \\ \hline & a & -2a+b & \multicolumn{1}{|r}{3a-2b} \end{array}$$

この余りも $0$ であるから、

$$3a - 2b = 0 \quad \cdots (2)$$

(1), (2)の連立方程式を解く。 (1)の両辺を $2$ 倍して、

$$-2a + 2b = 4$$

これと(2)の $3a - 2b = 0$ を辺々加えると、

$$a = 4$$

(1)より $b = a + 2 = 6$ である。

解説

整式が完全平方式 $(x-\alpha)^2$ で割り切れる条件を扱う典型問題である。 次数が低い場合は、解法1のように商を文字でおいて係数比較を行う恒等式のアプローチが計算量も少なく確実である。 数学IIの微分法を学習済みであれば、解法2の $P(\alpha)=0$ かつ $P'(\alpha)=0$ を利用する方法が最も手早い。整式が $(x-\alpha)^n$ で割り切れる条件と微分の関係は、記述試験でも大いに役立つので定着させておきたい。

答え

ア: 4

イ: 6