数学2 因数定理･剰余の定理 問題 8 解説

方針・初手

整式を2次式 $x^2 - 1$ で割るため、求める余りは1次以下の整式となる。そこで、余りを $ax+b$ ($a, b$ は定数) とおく。 割られる式、割る式、商、余りの関係を表す等式を立て、割る式が $0$ となるような $x$ の値を代入して定数を決定する。

解法1

整式 $x^{99}$ を $x^2-1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ ($a, b$ は実数の定数) とおく。 割り算の等式は以下のようになる。

$$x^{99} = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b$$

割る式を因数分解すると、

$$x^{99} = (x-1)(x+1)Q(x) + ax + b$$

となる。この等式は $x$ についての恒等式である。

両辺に $x = 1$ を代入すると、

$$1^{99} = a \cdot 1 + b$$

$$a + b = 1 \quad \cdots (1)$$

両辺に $x = -1$ を代入すると、

$$(-1)^{99} = a \cdot (-1) + b$$

$$-a + b = -1 \quad \cdots (2)$$

(1) と (2) の辺々を足し合わせると、

$$2b = 0$$

よって、$b = 0$ である。 これを (1) に代入して、

$$a + 0 = 1$$

よって、$a = 1$ である。

したがって、求める余りは $1 \cdot x + 0 = x$ となる。

解説

高次式を2次式で割ったときの余りを求める典型的な問題である。 ポイントは以下の2点である。

• $n$ 次式で割った余りは $n-1$ 次以下の式になるため、2次式で割った余りは $ax+b$ とおくこと。
• 恒等式の性質を利用し、未知の商 $Q(x)$ が消えるように、割る式 $(x-1)(x+1)$ が $0$ になる $x$ の値（本問では $x=1, -1$）を代入すること。

剰余の定理の基本的な考え方をそのまま適用することで容易に解を導くことができる。

答え

$x$