数学2 因数定理･剰余の定理 問題 9 解説

方針・初手

$P(x)$ を2次式 $x^2-x-6$ で割った余りを求めるため、余りを1次以下の整式 $ax+b$ と設定し、剰余の定理を用いて連立方程式を立てる。

解法1

$P(x)$ を2次式 $x^2-x-6$ で割ったときの余りは、1次以下の整式である。これを $ax+b$（$a, b$ は定数）とおく。

商を $Q(x)$ とすると、次の等式が成り立つ。

$$P(x) = (x^2-x-6)Q(x) + ax + b$$

$x^2-x-6 = (x+2)(x-3)$ と因数分解できるため、式は次のように書ける。

$$P(x) = (x+2)(x-3)Q(x) + ax + b$$

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+2$ で割った余りが $3$ であるから、

$$P(-2) = 3$$

同様に、$P(x)$ を $x-3$ で割った余りが $-1$ であるから、

$$P(3) = -1$$

上の $P(x)$ の式に $x = -2, 3$ をそれぞれ代入すると、以下の連立方程式が得られる。

$$-2a + b = 3$$

$$3a + b = -1$$

下の式から上の式を引くと、

$$5a = -4$$

$$a = -\frac{4}{5}$$

これを $-2a + b = 3$ に代入して、

$$-2 \left( -\frac{4}{5} \right) + b = 3$$

$$\frac{8}{5} + b = 3$$

$$b = \frac{7}{5}$$

したがって、求める余りは $-\frac{4}{5}x + \frac{7}{5}$ である。

解説

整式の割り算と剰余の定理を組み合わせた典型的な問題である。割る式が2次式の場合、余りは1次式以下になるため、$ax+b$ とおくのが定石である。割る式 $x^2-x-6$ が $(x+2)(x-3)$ と因数分解できることから、問題文で与えられた2つの条件を利用して未知数 $a, b$ を決定することができる。

答え

$-\frac{4}{5}x + \frac{7}{5}$