数学2 因数定理･剰余の定理 問題 12 解説

方針・初手

整式を3次式 $(x-1)(x+1)^2$ で割るため、余りは2次以下の整式となる。 そのまま余りを $ax^2+bx+c$ とおいても解けるが、「$(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-8$ である」という条件を活用し、余りを $a(x+1)^2 + x - 8$ と設定することで、未知数の数を1つに減らすのが定石である。

解法1

整式 $P$ を3次式 $(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とおく。割る式が3次式であるから、余り $R(x)$ は2次以下の整式である。

ここで、整式 $P$ は次のような恒等式で表される。

$$P = (x-1)(x+1)^2 Q(x) + R(x)$$

問題の条件より、$P$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $x-8$ である。 上の式の右辺第1項 $(x-1)(x+1)^2 Q(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れるため、余り $x-8$ は第2項の $R(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りとして生じる。 $R(x)$ は2次以下の整式であるから、定数 $a$ を用いて次のように表すことができる。

$$R(x) = a(x+1)^2 + x - 8$$

したがって、整式 $P$ は次のように表される。

$$P = (x-1)(x+1)^2 Q(x) + a(x+1)^2 + x - 8$$

また、$P$ を $x-1$ で割ったときの余りが $5$ であるから、剰余の定理より、$P$ に $x=1$ を代入した値は $5$ となる。 上の式に $x=1$ を代入すると、次のようになる。

$$\begin{aligned} 5 &= (1-1)(1+1)^2 Q(1) + a(1+1)^2 + 1 - 8 \\ 5 &= 4a - 7 \\ 4a &= 12 \\ a &= 3 \end{aligned}$$

ゆえに、求める余り $R(x)$ は以下のようになる。

$$\begin{aligned} R(x) &= 3(x+1)^2 + x - 8 \\ &= 3(x^2+2x+1) + x - 8 \\ &= 3x^2 + 6x + 3 + x - 8 \\ &= 3x^2 + 7x - 5 \end{aligned}$$

解法2

整式 $P$ を $(x-1)(x+1)^2$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし、余りを $ax^2+bx+c$ （$a, b, c$ は定数）とおく。

$$P = (x-1)(x+1)^2 Q(x) + ax^2+bx+c$$

$P$ を $x-1$ で割った余りが $5$ であるから、剰余の定理により $x=1$ を代入して次の式を得る。

$$a+b+c = 5$$

次に、$P$ を $(x+1)^2$ 、すなわち $x^2+2x+1$ で割ったときの余りを考える。 $(x-1)(x+1)^2 Q(x)$ の部分は $(x+1)^2$ で割り切れるため、余りは $ax^2+bx+c$ を $x^2+2x+1$ で割った余りに等しい。 実際に割り算を行うと、以下のようになる。

$$ax^2+bx+c = a(x^2+2x+1) + (b-2a)x + c-a$$

この余り $(b-2a)x + c-a$ が $x-8$ と等しくなるので、係数を比較して次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} b-2a = 1 \\ c-a = -8 \end{cases}$$

これらを変形すると、$b = 2a+1$、$c = a-8$ となる。 これらを最初の式 $a+b+c = 5$ に代入する。

$$\begin{aligned} a + (2a+1) + (a-8) &= 5 \\ 4a - 7 &= 5 \\ 4a &= 12 \\ a &= 3 \end{aligned}$$

$a=3$ を代入して、$b, c$ を求める。

$$\begin{aligned} b &= 2 \cdot 3 + 1 = 7 \\ c &= 3 - 8 = -5 \end{aligned}$$

ゆえに、求める余りは $3x^2 + 7x - 5$ である。

解説

整式の割り算における余りの設定方法についての典型問題である。 割る式が3次式であるため、余りを $ax^2+bx+c$ とおくのが基本（解法2）だが、与えられた条件「$(x+1)^2$ で割ったときの余り」に注目することで、余りを $a(x+1)^2+x-8$ とおくことができる（解法1）。 これにより未知数を3つから1つに減らすことができ、計算量が大幅に軽減される。実戦では解法1のアプローチをスムーズに使えるようにしておきたい。

答え

$3x^2 + 7x - 5$