数学2 因数定理･剰余の定理 問題 16 解説

方針・初手

求める余りは2次式 $(x-1)(x-2)$ で割った余りであるから、1次以下の整式である。これを $px+q$ とおき、割り算の等式を立てる。その後、与えられた条件から剰余の定理を用いて $f(1)$ と $f(2)$ の値を求め、係数 $p, q$ についての連立方程式を導く。

解法1

$f(x)$ を2次式 $(x-1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $px+q$ （$p, q$ は定数）とおくと、次の等式が成り立つ。

$$f(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + px + q \quad \cdots \text{①}$$

問題の条件より、$f(x)$ を $(x-1)^3$ で割ったときの商を $Q_1(x)$ とおくと、

$$f(x) = (x-1)^3 Q_1(x) + ax^2 + bx + c$$

が成り立つ。この両辺に $x=1$ を代入すると、

$$f(1) = a + b + c \quad \cdots \text{②}$$

となる。

また、$f(x)$ を $x-2$ で割った余りが $d$ であるから、剰余の定理より、

$$f(2) = d \quad \cdots \text{③}$$

である。

等式①の両辺に $x=1$ および $x=2$ をそれぞれ代入すると、

$$f(1) = p + q$$

$$f(2) = 2p + q$$

となる。これらに②、③を代入して、

$$\begin{cases} p + q = a + b + c \\ 2p + q = d \end{cases}$$

を得る。この連立方程式を解く。下の式から上の式を引くと、

$$p = d - (a + b + c) = -a - b - c + d$$

これを上の式に代入して $q$ を求めると、

$$q = (a + b + c) - p = (a + b + c) - (-a - b - c + d) = 2a + 2b + 2c - d$$

したがって、求める余りは以下のようになる。

$$(-a - b - c + d)x + 2a + 2b + 2c - d$$

解説

整式の割り算と剰余の定理における基本的な問題である。割る式が2次式であるため、余りは1次以下の整式（すなわち $px+q$ の形）になるという基本事項がポイントとなる。あとは条件から必要な数値を代入し、連立方程式を解くだけである。

与えられた条件のうち、「$f(x)$ を $(x-1)^3$ で割れば余りは $ax^2+bx+c$」という部分は、単に $f(1)$ の値を知るためだけに用いられている。3乗という次数や2次式の余りといった複雑な見かけに惑わされないことが重要である。

答え

$$(-a - b - c + d)x + 2a + 2b + 2c - d$$