数学2 因数定理･剰余の定理 問題 17 解説

方針・初手

割る式が $x^2-1$ という2次式であるため、求める余りは1次以下の多項式となる。したがって、余りを $ax+b$ （$a, b$ は定数）とおき、割り算の等式を立てる。割る式が $(x-1)(x+1)$ と因数分解できることに着目し、恒等式の両辺に $x=1$ と $x=-1$ を代入して未知数 $a, b$ についての連立方程式を導く。

解法1

多項式 $(x+1)^{12}$ を2次式 $x^2-1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ （$a, b$ は定数）とおく。 割り算の等式は次のように表される。

$$(x+1)^{12} = (x^2-1)Q(x) + ax + b$$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$ であるから、式は次のように書き直せる。

$$(x+1)^{12} = (x-1)(x+1)Q(x) + ax + b$$

この等式は $x$ についての恒等式である。 両辺に $x=1$ を代入すると、

$$(1+1)^{12} = a + b$$

$$a + b = 2^{12}$$

$$a + b = 4096 \quad \cdots \text{①}$$

また、両辺に $x=-1$ を代入すると、

$$(-1+1)^{12} = -a + b$$

$$0 = -a + b \quad \cdots \text{②}$$

②より、$b = a$ である。これを①に代入すると、

$$2a = 4096$$

$$a = 2048$$

ゆえに、$b = 2048$ となる。 以上より、$a$ と $b$ の値が定まり、求める余りは $2048x + 2048$ である。

解説

多項式の割り算における余りを求める典型問題である。 「多項式 $A$ を多項式 $B$ で割ったときの商を $Q$、余りを $R$ とすると、$A = BQ + R$ （ただし、$R$ の次数は $B$ の次数より低いか、$R=0$）」という整式の除法の基本定理を用いて恒等式を立てるアプローチが極めて有効である。 本問では割る式が2次式であるため、余りを1次式 $ax+b$ と設定することが第一歩となる。その後、商 $Q(x)$ がどのような式であっても値が計算できるように、割る式 $x^2-1$ を $0$ にするような $x$ の値（すなわち $x=1$ および $x=-1$）を代入することで、$a, b$ に関する連立方程式に帰着させることができる。

答え

$2048x + 2048$