数学2 因数定理･剰余の定理 問題 18 解説

方針・初手

整式を2次式で割った余りを求める問題である。割る式が2次式 $(x+1)(x-2)$ であるため、求める余りは1次以下の整式となる。したがって、余りを $ax+b$ （$a, b$ は定数）とおき、剰余の定理を用いて連立方程式を立てる。

解法1

整式 $P(x)$ を2次式 $(x+1)(x-2)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ （$a, b$ は定数）とおくと、以下の等式が成り立つ。

$$P(x) = (x+1)(x-2)Q(x) + ax + b$$

剰余の定理より、$P(x)$ を $x+1$ で割った余りが $1$ であるから、

$$P(-1) = 1$$

また、$P(x)$ を $x-2$ で割った余りが $4$ であるから、

$$P(2) = 4$$

である。これらを最初の等式に代入すると、

$$\begin{cases} -a + b = 1 \\ 2a + b = 4 \end{cases}$$

という $a, b$ についての連立方程式が得られる。これを解く。下の式から上の式を引くと、

$$3a = 3$$

となり、$a = 1$ を得る。これを上の式に代入すると、

$$-1 + b = 1$$

より、$b = 2$ となる。

したがって、求める余りは $x+2$ である。

解説

剰余の定理の基本的な応用問題である。整式の割り算において、「割る式が $n$ 次式ならば、余りは $n-1$ 次以下の式になる」という性質は非常に重要である。本問では割る式が2次式なので、余りを1次式 $ax+b$ とおくことがポイントとなる。

答え

$x+2$