数学2 因数定理･剰余の定理 問題 19 解説

方針・初手

$x^2-3x+2$ を因数分解すると $(x-1)(x-2)$ となることに着目する。与えられた $P(x)$ の式は $(x-1)(x-2)$ を因数に持つ項を複数含んでいるため、割り算の余りを係数 $c, d$ だけで簡単に表すことができる。その後は与えられた値の条件を代入して未定係数を決定していく。

解法1

割る式を因数分解すると $x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)$ である。

多項式 $P(x) = a(x-1)(x-2)(x-3) + b(x-1)(x-2) + c(x-1) + d$ を $(x-1)(x-2)$ で割ることを考える。

第1項 $a(x-1)(x-2)(x-3)$ と第2項 $b(x-1)(x-2)$ は $(x-1)(x-2)$ で割り切れるため、余りは残りの $c(x-1) + d$ となる。

問題の条件より、この余りが $2x$ に等しいので、以下の恒等式が成り立つ。

$$c(x-1) + d = 2x$$

$$cx + (-c+d) = 2x$$

両辺の係数を比較して、以下の連立方程式を得る。

$$c = 2, \quad -c+d = 0$$

これより、$c=2, d=2$ である。

次に、条件 $P(3)=4$ を用いる。$x=3$ を $P(x)$ に代入すると、第1項は $0$ となる。

$$P(3) = a \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0 + b \cdot 2 \cdot 1 + 2c + d = 2b + 2c + d$$

$c=2, d=2$ と $P(3)=4$ を代入すると、

$$2b + 4 + 2 = 4$$

$$2b = -2$$

$$b = -1$$

さらに、条件 $P(0)=-1$ を用いて $a$ を求める。

$$P(0) = a(-1)(-2)(-3) + b(-1)(-2) + c(-1) + d = -6a + 2b - c + d$$

求めた $b, c, d$ の値と $P(0)=-1$ を代入して、

$$-6a + 2(-1) - 2 + 2 = -1$$

$$-6a - 2 = -1$$

$$-6a = 1$$

$$a = -\frac{1}{6}$$

よって、各係数の値が決定された。

続いて $P'(3)$ を求める。$P(x)$ を展開せずに、積の微分法を用いて微分する。

$$\begin{aligned} P'(x) &= a \left\{ (x-2)(x-3) + (x-1)(x-3) + (x-1)(x-2) \right\} \\ &\quad + b \{ (x-2) + (x-1) \} + c \end{aligned}$$

$x=3$ を代入すると、$x-3$ を因数に持つ項は $0$ となるため、計算が簡略化される。

$$\begin{aligned} P'(3) &= a(3-1)(3-2) + b \{ (3-2) + (3-1) \} + c \\ &= 2a + 3b + c \end{aligned}$$

求めた $a, b, c$ の値を代入して、

$$\begin{aligned} P'(3) &= 2\left(-\frac{1}{6}\right) + 3(-1) + 2 \\ &= -\frac{1}{3} - 3 + 2 \\ &= -\frac{4}{3} \end{aligned}$$

解説

多項式の割り算において、剰余定理や恒等式の性質を活用する典型的な問題である。与えられた $P(x)$ が $(x-1)$ や $(x-2)$ でくくられた形で表現されていることは、前方の項が割る式で割り切れることを意図した誘導である。微分の計算においても、そのまま展開して微分するのではなく、積の微分法を用いてから代入することで、$0$ になる項を利用でき、計算ミスを減らすことができる。

答え

$a = -\frac{1}{6}$

$b = -1$

$c = 2$

$d = 2$

$P'(3) = -\frac{4}{3}$