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数学2 因数定理･剰余の定理問題 20 解説

方針・初手

(1) は多項式の除算を実行する。(2) は (1) の結果の恒等式に $x = a$ を代入し、$X$ を $Y$ の1次式で表す。「有理数 $+$ 有理数 $\times$ 無理数 $= 0$」の形を作り、背理法により無理数の係数が $0$ になることを利用する。(3) は得られた $Y$ の値から $a$ の2次方程式を解き、条件に合うものを絞り込む。

解法1

(1)

整式 $x^3 + 3x^2 - 14x + 6$ を整式 $x^2 - 2x$ で割る。

$$\begin{aligned} x^3 + 3x^2 - 14x + 6 &= x(x^2 - 2x) + 5x^2 - 14x + 6 \\ &= x(x^2 - 2x) + 5(x^2 - 2x) - 4x + 6 \\ &= (x^2 - 2x)(x + 5) - 4x + 6 \end{aligned}$$

よって、商は $x + 5$、余りは $-4x + 6$ である。

(2)

(1) の結果より、次の恒等式が成り立つ。

$$x^3 + 3x^2 - 14x + 6 = (x^2 - 2x)(x + 5) - 4x + 6$$

この式の $x$ に $a$ を代入する。

$$a^3 + 3a^2 - 14a + 6 = (a^2 - 2a)(a + 5) - 4a + 6$$

$X = a^3 + 3a^2 - 14a + 6$、$Y = a^2 - 2a$ であるから、次のように書き換えられる。

$$X = Y(a + 5) - 4a + 6$$

これを $a$ について整理する。

$$(Y - 4)a + 5Y - X + 6 = 0$$

ここで、$Y - 4 \neq 0$ と仮定する。

$$a = \frac{X - 5Y - 6}{Y - 4}$$

$X, Y$ は有理数であるから、右辺の $\frac{X - 5Y - 6}{Y - 4}$ は有理数となる。しかし、これは $a$ が無理数であるという条件に矛盾する。

したがって、$Y - 4 = 0$ でなければならない。

$Y - 4 = 0$ より、$Y = 4$ である。

これを $(Y - 4)a + 5Y - X + 6 = 0$ に代入する。

$$5 \cdot 4 - X + 6 = 0$$

これより、$X = 26$ となる。

(3)

(2) より、$Y = 4$ であるから、次の2次方程式を得る。

$$a^2 - 2a = 4$$

$$a^2 - 2a - 4 = 0$$

この方程式を解く。

$$a = 1 \pm \sqrt{1^2 - 1 \cdot (-4)} = 1 \pm \sqrt{5}$$

$5$ は素数であるから、問題文の条件より $\sqrt{5}$ は無理数である。したがって、$a = 1 \pm \sqrt{5}$ はともに無理数となる。

さらに、$a$ は正の無理数である。$1 - \sqrt{5} < 0$ であるため不適であり、$1 + \sqrt{5} > 0$ より $a = 1 + \sqrt{5}$ となる。

解説

無理数と有理数が混ざった等式から、それぞれの値を決定する典型問題である。一般に、$p, q$ が有理数、$r$ が無理数のとき、$p + qr = 0$ ならば $q = 0$ かつ $p = 0$ が成り立つ。本問では (1) の除算が (2) での式変形の誘導になっており、次数下げを行うことで $a$ の1次式を作り出すことができる。論証において、割る式が $0$ にならないことを背理法で示す手順を省略せずに書くことが重要である。