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数学2 因数定理･剰余の定理問題 24 解説

方針・初手

剰余の定理と整式の除法の基本公式 $A=BQ+R$ を用いて立式し、恒等式として処理を進める。 (1)は1次式で割った余りを求め、それを用いて2次式で割った余りを決定する。 (2)は3次式で割った余りを設定する際、(1)の考え方を拡張し、既知の2次式で割った余りを利用して未知数を減らす方針をとる。後半は恒等式の性質から商に関する余りを導出する。 (3)は(2)で得られた商の条件を用いて、最も次数の低い整式を決定する。

解法1

条件の立式

問題の条件より、商をそれぞれ $Q_1(x), Q_2(x)$ として、次のように表せる。

$$A(x) = (x+1)^2 Q_1(x) + 3x + 8 \cdots \text{①}$$

$$A(x) = (x^2+x-6) Q_2(x) - x + 16 = (x+3)(x-2) Q_2(x) - x + 16 \cdots \text{②}$$

(1) ア、イ、ウの導出

剰余の定理より、$A(-1)$ は式①に $x = -1$ を代入して求められる。

$$A(-1) = 3 \cdot (-1) + 8 = 5$$

$A(2)$ は式②に $x = 2$ を代入して求められる。

$$A(2) = -2 + 16 = 14$$

次に、$A(x)$ を $x^2-x-2 = (x-2)(x+1)$ で割った余りを $ax+b$ （$a, b$ は定数）とし、商を $Q_3(x)$ とおくと、以下の式が成り立つ。

$$A(x) = (x-2)(x+1) Q_3(x) + ax+b$$

これに $x = -1, 2$ を代入すると、次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} A(-1) = -a+b = 5 \\ A(2) = 2a+b = 14 \end{cases}$$

この連立方程式を解くと、$a = 3, b = 8$ となる。したがって、求める余りは $3x+8$ である。

(2) エ、オの導出

$B(x)$ を因数分解すると、次のようになる。

$$B(x) = x^3+2x^2-5x-6 = (x+1)(x^2+x-6) = (x+1)(x+3)(x-2)$$

$A(x)$ を3次式 $B(x)$ で割った余りは2次以下の整式である。式②より、$A(x)$ を $x^2+x-6$ で割った余りが $-x+16$ であるから、$A(x)$ を $B(x)$ で割った商を $Q_4(x)$ とすると、次のように設定できる。（$c$ は定数）

$$A(x) = B(x) Q_4(x) + c(x^2+x-6) - x + 16$$

この式に $x = -1$ を代入し、$A(-1) = 5$ と $B(-1) = 0$ を用いると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} A(-1) &= c((-1)^2 - 1 - 6) - (-1) + 16 \\ 5 &= -6c + 17 \\ 6c &= 12 \\ c &= 2 \end{aligned}$$

したがって、求める余りは次のように定まる。

$$2(x^2+x-6) - x + 16 = 2x^2+x+4$$

次に、$A(x)$ を $B(x)$ で割った商 $Q_4(x)$ を $x+1$ で割った余りを求める。剰余の定理より、求める余りは $Q_4(-1)$ である。先ほど求めた余りを用いて $A(x)$ を表すと、以下のようになる。

$$A(x) = (x+1)(x^2+x-6) Q_4(x) + 2x^2+x+4 \cdots \text{③}$$

式①と式③から $A(x)$ を消去する。

$$(x+1)^2 Q_1(x) + 3x + 8 = (x+1)(x^2+x-6) Q_4(x) + 2x^2+x+4$$

移項して整理する。

$$\begin{aligned} (x+1)^2 Q_1(x) - (x+1)(x^2+x-6) Q_4(x) &= 2x^2 - 2x - 4 \\ (x+1) \{ (x+1) Q_1(x) - (x^2+x-6) Q_4(x) \} &= 2(x+1)(x-2) \end{aligned}$$

これは $x$ についての恒等式であるから、両辺を $x+1$ で割ることができる。

$$(x+1) Q_1(x) - (x^2+x-6) Q_4(x) = 2(x-2)$$

この式に $x = -1$ を代入する。

$$\begin{aligned} 0 - (1 - 1 - 6) Q_4(-1) &= 2(-1-2) \\ 6 Q_4(-1) &= -6 \\ Q_4(-1) &= -1 \end{aligned}$$

したがって、$Q_4(x)$ を $x+1$ で割った余りは $-1$ である。

(3) カの導出

(2)より、$Q_4(x)$ を $x+1$ で割った商を $q(x)$ とすると、余りが $-1$ であるから次のように表せる。

$$Q_4(x) = (x+1)q(x) - 1$$

これを式③に代入する。

$$\begin{aligned} A(x) &= B(x) \{ (x+1)q(x) - 1 \} + 2x^2+x+4 \\ &= (x+1)B(x)q(x) - B(x) + 2x^2+x+4 \end{aligned}$$

ここで、$A(x)$ の次数が最も低くなるのは、$q(x) = 0$ のときである。このとき、$A(x)$ は次のようになる。

$$\begin{aligned} A(x) &= - (x^3+2x^2-5x-6) + 2x^2+x+4 \\ &= -x^3 - 2x^2 + 5x + 6 + 2x^2 + x + 4 \\ &= -x^3 + 6x + 10 \end{aligned}$$

解説

整式の割り算において、割る式の次数より余りの次数が低くなることを利用し未知数を設定する定石問題である。 (2)において、3次式 $(x+1)(x^2+x-6)$ で割った余りを $ax^2+bx+c$ とおく代わりに、$x^2+x-6$ で割った余りが $-x+16$ であることを利用して $a(x^2+x-6)-x+16$ とおくテクニックは非常に重要である。これにより未知数の数を減らし、計算量を大きく削減できる。また、(2)の後半では、$x+1$ の因数を持つ項をまとめて両辺を $x+1$ で割ることで、商 $Q_4(x)$ に関する情報を引き出している。恒等式の性質を巧みに利用する処理として習熟しておきたい。