数学2 因数定理･剰余の定理 問題 26 解説

方針・初手

与えられた5次式を3次式で割る問題である。割られる式の次数が低く、含まれる未定係数も $a$ のみであるため、直接割り算（筆算）を実行して商と余りを $a$ で表すのが最も確実で速い。

また、割る式 $x^3+x^2+x+1$ が $(x^2+1)(x+1)$ と因数分解できることに着目し、剰余の定理（複素数の代入を含む）を用いて余りの条件から $a$ を決定し、逆算して商を求めるという方針も考えられる。

解法1

$x$ の整式 $x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$ を $x^3+x^2+x+1$ で割る。直接割り算を実行すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2 &= (x^3+x^2+x+1)x^2 + x^4+(a-1)x^3+2x^2+3x+2 \\ &= (x^3+x^2+x+1)(x^2+x) + (a-2)x^3+x^2+2x+2 \\ &= (x^3+x^2+x+1)(x^2+x+a-2) + (3-a)x^2+(4-a)x+(4-a) \end{aligned}$$

したがって、商 $Q(x)$ と余り $R(x)$ はそれぞれ次のように求まる。

$$Q(x) = x^2+x+a-2$$

$$R(x) = (3-a)x^2+(4-a)x+(4-a)$$

問題の条件より、$R(x)$ の $x$ の1次の項の係数が $1$ であるから、

$$4-a = 1$$

これを解いて、

$$a = 3$$

この $a$ の値を $Q(x)$ と $R(x)$ の式に代入すると、

$$Q(x) = x^2+x+3-2 = x^2+x+1$$

$$R(x) = (3-3)x^2+1\cdot x+(4-3) = x+1$$

となる。

解法2

割られる式を $P(x) = x^5+2x^4+ax^3+3x^2+3x+2$、割る式を $B(x) = x^3+x^2+x+1$ とおく。

$B(x)$ は次のように因数分解できる。

$$B(x) = x^2(x+1)+(x+1) = (x^2+1)(x+1)$$

したがって、$B(x)=0$ の解は $x = -1, i, -i$ である（$i$ は虚数単位）。

$P(x)$ を3次式 $B(x)$ で割った余り $R(x)$ は2次以下の整式である。条件より $R(x)$ の1次の項の係数は $1$ であるため、$p, q$ を実数として、

$$R(x) = px^2+x+q$$

とおける。割り算の等式 $P(x) = B(x)Q(x)+R(x)$ は $x$ についての恒等式であるから、$x = -1$ および $x = i$ を代入する。

まず、$x = -1$ を代入すると、

$$P(-1) = -1+2-a+3-3+2 = 3-a$$

$$R(-1) = p-1+q$$

$P(-1) = R(-1)$ より、

$$3-a = p+q-1 \iff p+q+a = 4 \quad \cdots \text{①}$$

次に、$x = i$ を代入すると、

$$P(i) = i^5+2i^4+ai^3+3i^2+3i+2 = i+2-ai-3+3i+2 = 1+(4-a)i$$

$$R(i) = pi^2+i+q = -p+q+i$$

$P(i) = R(i)$ より、

$$1+(4-a)i = -p+q+i$$

$a, p, q$ は実数であるから、両辺の実部と虚部を比較して、

$$-p+q = 1 \quad \cdots \text{②}$$

$$4-a = 1 \quad \cdots \text{③}$$

③より、

$$a = 3$$

これを①に代入して整理すると、

$$p+q = 1 \quad \cdots \text{①'}$$

①'と②を連立方程式として解くと、$p = 0, q = 1$ を得る。 したがって、余り $R(x)$ は、

$$R(x) = x+1$$

次に、$a = 3$ を元の式に代入して商 $Q(x)$ を求める。

$$P(x) = x^5+2x^4+3x^3+3x^2+3x+2$$

恒等式 $P(x) = B(x)Q(x)+R(x)$ より、

$$B(x)Q(x) = P(x)-R(x) = x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1$$

$Q(x)$ は2次式であり、最高次の係数が $1$、定数項が $1$ であることがわかるため、$Q(x) = x^2+cx+1$ とおける。

$$(x^3+x^2+x+1)(x^2+cx+1) = x^5+2x^4+3x^3+3x^2+2x+1$$

両辺の $x^4$ の係数を比較すると、左辺は $c+1$、右辺は $2$ であるから、

$$c+1 = 2 \iff c = 1$$

よって、

$$Q(x) = x^2+x+1$$

解説

整式の割り算に関する基本的な問題である。解法1のようにそのまま筆算で割り算を実行するのが最も素直で、計算量もそれほど多くない。京都大学の問題としてはかなり易しい部類に入るため、計算ミスをせずに確実に完答したい。

解法2は、割る式が $(x^2+1)(x+1)$ ときれいに因数分解できることに着目したものである。次数が高い整式の割り算や、割る式の次数に対して割られる式の次数が文字式になっているような場合には、このような剰余の定理と複素数の代入を用いた解法が強力な武器となる。

答え

$a = 3$

$Q(x) = x^2+x+1$

$R(x) = x+1$