数学2 因数定理･剰余の定理 問題 30 解説

方針・初手

割る式が2次式であるため、求める余りは1次以下の整式である。余りを $ax + b$ （$a, b$ は定数）とおき、割り算の等式を立てる。割る式 $x^2 - 1$ が $(x - 1)(x + 1)$ と因数分解できることに着目し、剰余の定理の考え方を用いて恒等式に数値を代入し、$a, b$ の値を求める。

解法1

整式 $x^{11} + 1$ を2次式 $x^2 - 1$ で割ったときの商を $Q(x)$ とし、余りを $ax + b$ （$a, b$ は定数）とおく。

割り算の等式は次のように表される。

$$x^{11} + 1 = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b$$

$$x^{11} + 1 = (x - 1)(x + 1)Q(x) + ax + b$$

この等式は $x$ についての恒等式である。

両辺に $x = 1$ を代入すると、

$$1^{11} + 1 = a + b$$

$$a + b = 2 \quad \cdots \text{①}$$

両辺に $x = -1$ を代入すると、

$$(-1)^{11} + 1 = -a + b$$

$$-1 + 1 = -a + b$$

$$-a + b = 0 \quad \cdots \text{②}$$

①と②の連立方程式を解く。 ①と②の辺々を加えると、

$$2b = 2$$

$$b = 1$$

①から②を辺々引くと、

$$2a = 2$$

$$a = 1$$

したがって、$a = 1, b = 1$ となるので、求める余りは $x + 1$ である。

解説

整式の割り算における基本的な問題である。「割る式が $n$ 次式のとき、余りは $n-1$ 次以下の整式になる」という性質から、余りを文字でおいて恒等式を作るのが定石である。

本問では割る式が $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ と因数分解できるため、商を $Q(x)$ とおいてできた等式に $x = 1$ および $x = -1$ を代入することで、商の部分を $0$ にして余りの係数だけを取り出すことができる。

答え

$x + 1$