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数学2 因数定理･剰余の定理問題 31 解説

方針・初手

(1)は、重解の定義「$f(x)$ が $(x-k)^2$ で割り切れる」に従って、必要性と十分性をそれぞれ証明する。整式の除法と微分の性質、および因数定理を用いる。 (2)は、(1)で証明した必要十分条件を利用し、$f(k)=0$ と $f'(k)=0$ の連立方程式を立てて解く。

解法1

(1)

$f(x)=0$ が $x=k$ を重解にもつための必要十分条件は、$f(k)=0$ かつ $f'(k)=0$ が成り立つことである。これを以下に証明する。

（必要性の証明） $k$ が $f(x)=0$ の重解であるとすると、定義より $f(x)$ は $(x-k)^2$ で割り切れるので、整式 $Q(x)$ を用いて次のように表せる。

$$f(x) = (x-k)^2 Q(x)$$

この両辺に $x=k$ を代入すると、

$$f(k) = (k-k)^2 Q(k) = 0$$

となる。また、$f(x)$ の両辺を $x$ で微分すると、積の微分法により、

$$f'(x) = 2(x-k)Q(x) + (x-k)^2 Q'(x)$$

となる。この両辺に $x=k$ を代入すると、

$$f'(k) = 2(k-k)Q(k) + (k-k)^2 Q'(k) = 0$$

よって、$f(k)=0$ かつ $f'(k)=0$ が成り立つ。

（十分性の証明） $f(k)=0$ が成り立つとき、因数定理より $f(x)$ は $x-k$ で割り切れる。よって、整式 $R(x)$ を用いて次のように表せる。

$$f(x) = (x-k)R(x)$$

この両辺を $x$ で微分すると、積の微分法により、

$$f'(x) = R(x) + (x-k)R'(x)$$

となる。ここで、$f'(k)=0$ であるから、$x=k$ を代入して、

$$f'(k) = R(k) + (k-k)R'(k) = R(k) = 0$$

$R(k)=0$ が成り立つので、再び因数定理より $R(x)$ も $x-k$ で割り切れる。よって、整式 $S(x)$ を用いて $R(x) = (x-k)S(x)$ と表せる。これを $f(x)$ の式に代入すると、

$$f(x) = (x-k)^2 S(x)$$

となり、$f(x)$ は $(x-k)^2$ で割り切れる。したがって、$k$ は方程式 $f(x)=0$ の重解である。

以上より、題意は示された。

(2)

$f(x) = x^n - ax + a$ とおく。(1)で示した必要十分条件より、$k$ が $f(x)=0$ の重解であるための条件は、$f(k)=0$ かつ $f'(k)=0$ が成り立つことである。

$f'(x) = nx^{n-1} - a$ であるから、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} k^n - ak + a = 0 & \cdots \text{①} \\ nk^{n-1} - a = 0 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

②より、$a = nk^{n-1}$ である。これを①に代入して整理する。

$$\begin{aligned} k^n - \left( nk^{n-1} \right) k + nk^{n-1} &= 0 \\ k^n - nk^n + nk^{n-1} &= 0 \\ (1-n)k^n + nk^{n-1} &= 0 \\ k^{n-1} \{ (1-n)k + n \} &= 0 \end{aligned}$$

これより、$k=0$ または $(1-n)k + n = 0$ である。 $n$ は2以上の自然数であるから、$1-n \neq 0$ となり、$k = 0$ または $k = \frac{n}{n-1}$ となる。

(i) $k=0$ のとき

②に代入すると、$n \geqq 2$ より、

$$a = n \cdot 0^{n-1} = 0$$

となる。

(ii) $k = \frac{n}{n-1}$ のとき

②に代入すると、

$$a = n \left( \frac{n}{n-1} \right)^{n-1} = \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}$$

となる。

これらはともに(1)で示した必要十分条件を満たしている。

解説

重解の条件「$f(k)=0$ かつ $f'(k)=0$」は微積分において頻出の重要な性質であり、本問はその証明から応用までを問う標準的な問題である。 (1)の十分性の証明では、商の整式に対して因数定理を2回用いることで、論理の飛躍なく簡潔に示すことができる。 (2)では、(1)の結論を用いて機械的に連立方程式を解けばよいが、$k=0$ の場合（$a=0$）を落とさないように注意が必要である。$n \geqq 2$ のとき $x^n=0$ は $x=0$ を重解にもつため、$a=0, k=0$ も正しい解である。