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数学2 因数定理･剰余の定理問題 32 解説

方針・初手

多項式が特定の式で割り切れる条件を求める問題である。1次式 $x-\alpha$ で割り切れる条件は剰余の定理より $P(\alpha)=0$ を用いる。$(x-\alpha)^2$ などの平方式で割り切れる条件については、微分を用いて $P(\alpha)=0$ かつ $P'(\alpha)=0$ を立式するか、因数定理を用いて1度割り算を実行した商に再び因数定理を適用する方針が有効である。また、$n$ が奇数であることに注意して符号を決定する。

解法1

多項式 $P(x) = x^n - ax^2 - bx + 2$ が $x^2 - 4$ で割り切れるための条件を考える。 $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ であるから、因数定理より $P(2) = 0$ かつ $P(-2) = 0$ が成り立つ。

$P(2) = 0$ より、

$$2^n - 4a - 2b + 2 = 0$$

整理して、

$$2a + b = 2^{n-1} + 1 \quad \cdots (1)$$

$P(-2) = 0$ について考える。$n$ は奇数であるから $(-2)^n = -2^n$ となる。したがって、

$$-2^n - 4a + 2b + 2 = 0$$

整理して、

$$2a - b = -2^{n-1} + 1 \quad \cdots (2)$$

(1) と (2) の辺々を足すと、

$$4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$$

(1) と (2) の辺々を引くと、

$$2b = 2 \cdot 2^{n-1} \implies b = 2^{n-1}$$

次に、$P(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れるための条件を考える。整式が $(x+1)^2$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(-1) = 0$ かつ $P'(-1) = 0$ である。 $P(-1) = 0$ より、$(-1)^n - a(-1)^2 - b(-1) + 2 = 0$ であるが、$n$ は奇数より $(-1)^n = -1$ なので、

$$-1 - a + b + 2 = 0$$

整理して、

$$a - b = 1 \quad \cdots (3)$$

また、$P(x)$ を $x$ で微分すると、

$$P'(x) = nx^{n-1} - 2ax - b$$

$n$ は奇数であるから、$n-1$ は偶数となり $(-1)^{n-1} = 1$ である。$P'(-1) = 0$ より、

$$n \cdot 1 - 2a(-1) - b = 0$$

整理して、

$$2a - b = -n \quad \cdots (4)$$

(4) から (3) の辺々を引くと、

$$a = -n - 1$$

これを (3) に代入すると、

$$b = a - 1 = -n - 2$$

解法2

後半の $(x+1)^2$ で割り切れる条件について、微分を用いない解法を示す。 $P(-1) = 0$ より $a - b = 1$ が成り立つ。これより $b = a - 1$ として $P(x)$ に代入する。

$$\begin{aligned} P(x) &= x^n - ax^2 - (a-1)x + 2 \\ &= x^n + 1 - ax^2 - ax + x + 1 \\ &= (x^n + 1) - ax(x+1) + (x+1) \end{aligned}$$

$n$ が奇数であるため、$x^n + 1 = (x+1)(x^{n-1} - x^{n-2} + \cdots - x + 1)$ と因数分解できることを用いると、

$$\begin{aligned} P(x) &= (x+1)(x^{n-1} - x^{n-2} + \cdots - x + 1) - ax(x+1) + (x+1) \\ &= (x+1) \{ x^{n-1} - x^{n-2} + \cdots - x + 1 - ax + 1 \} \end{aligned}$$

$P(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れるためには、中括弧内の多項式を $Q(x)$ とおいたとき、$Q(-1) = 0$ となればよい。

$$Q(-1) = (-1)^{n-1} - (-1)^{n-2} + \cdots - (-1) + 1 - a(-1) + 1$$

$n-1$ は偶数であり、$(-1)^{n-1}$ から定数項の $1$ までの項はすべて $1$ となる。この部分は全部で $n$ 項あるため、和は $n$ になる。

$$Q(-1) = n + a + 1$$

$Q(-1) = 0$ より、

$$a = -n - 1$$

$b = a - 1$ に代入して、

$$b = -n - 2$$

解説

2次式以上の多項式で割り切れる条件を求める典型問題である。平方式 $(x-\alpha)^2$ で割り切れる条件として「$P(\alpha)=0$ かつ $P'(\alpha)=0$」を用いる方法は、計算量を大幅に削減できるため非常に実用的である。数学IIの微分の範囲でも多項式の微分として十分に扱えるため、積極的に活用したい。微分を用いない場合は、解法2のように因数分解を行ってから因数定理を再度適用する。このとき、$n$ が奇数である場合の因数分解公式 $x^n + 1 = (x+1)(x^{n-1} - x^{n-2} + \cdots - x + 1)$ が必要となる。