数学2 因数定理･剰余の定理 問題 33 解説

方針・初手

割る式である $x^4+x^3+x^2+x+1$ から、等式 $x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ を連想することが鍵となる。 割られる式である $x^{2023}-1$ の次数を、$x^5-1$ の倍数を作ることで一気に下げる方針をとる。

解法1

整式 $x^{2023}-1$ を 4次式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割った商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、$R(x)$ は3次以下の整式であり、以下のように表せる。

$$x^{2023}-1 = (x^4+x^3+x^2+x+1)Q(x) + R(x)$$

ここで、恒等式 $x^5-1 = (x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$ に着目する。 $x^{2023}$ を $x^5$ を用いて表すと、

$$x^{2023} = x^{5 \times 404 + 3} = (x^5)^{404} x^3$$

となる。 したがって、$x^{2023} - x^3$ は次のように変形できる。

$$x^{2023} - x^3 = (x^5)^{404} x^3 - x^3 = x^3 \{ (x^5)^{404} - 1 \}$$

$X = x^5$ とおくと、$X^{404} - 1$ は $X - 1$ で割り切れるから、$(x^5)^{404} - 1$ は $x^5 - 1$ で割り切れる。 また、$x^5 - 1$ は $x^4+x^3+x^2+x+1$ を因数にもつため、$x^{2023} - x^3$ は $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割り切れることがわかる。 ゆえに、ある整式 $A(x)$ を用いて、

$$x^{2023} - x^3 = (x^4+x^3+x^2+x+1)A(x)$$

と表せる。 この式の両辺に $x^3 - 1$ を加えると、

$$x^{2023} - 1 = (x^4+x^3+x^2+x+1)A(x) + x^3 - 1$$

となる。 $x^3 - 1$ の次数は、割る式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ の次数である 4 より小さいため、求める余りは $x^3 - 1$ である。

解法2

方程式 $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ の解の1つを $\alpha$ とする。 $\alpha$ は

$$\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0$$

を満たす。 この両辺に $\alpha-1$ を掛けると $\alpha^5-1=0$ となるため、$\alpha^5=1$ である。

整式 $x^{2023}-1$ を 4次式 $x^4+x^3+x^2+x+1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とすると、$R(x)$ は3次以下の整式となる。 よって、実数 $a, b, c, d$ を用いて $R(x) = ax^3+bx^2+cx+d$ とおける。

$$x^{2023}-1 = (x^4+x^3+x^2+x+1)Q(x) + ax^3+bx^2+cx+d$$

この式の両辺に $x = \alpha$ を代入すると、$\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1=0$ より、

$$\alpha^{2023}-1 = a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d$$

となる。 ここで、$\alpha^{2023} = (\alpha^5)^{404} \alpha^3 = 1^{404} \alpha^3 = \alpha^3$ であるから、

$$\alpha^3-1 = a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d$$

$$(a-1)\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha+d+1 = 0$$

が得られる。 方程式 $x^4+x^3+x^2+x+1=0$ は、複素数平面上で単位円に内接する正五角形の頂点のうち、実数 $1$ を除く相異なる4つの複素数解をもつ。 多項式 $P(x) = (a-1)x^3+bx^2+cx+d+1$ について、$P(\alpha)=0$ がこれら4つの相異なる解に対して成り立つ。 3次以下の多項式 $P(x)$ が4つ以上の異なる値に対して $0$ となるためには、$P(x)$ が恒等的に $0$ でなければならない。 よって、各次数の係数はすべて $0$ となる。

$$a-1=0, \quad b=0, \quad c=0, \quad d+1=0$$

これを解くと、$a=1, b=0, c=0, d=-1$ を得る。 したがって、求める余りは $x^3-1$ である。

解説

高次式の割り算において、剰余定理を応用して次数を下げる典型的な問題である。 まともに割り算を実行することは不可能であるため、$x^5-1$ の因数分解の形を利用して $x^5$ のカタマリを作り出す発想が必要になる。 解法1のように多項式の変形で直接余りを求める方法のほか、解法2のように方程式の解（1の5乗根）を代入して係数比較に持ち込む方法も有用である。

答え

$x^3-1$