数学2 因数定理･剰余の定理 問題 34 解説

方針・初手

割る式が $x^2+x+1$ であることに着目する。$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ であるから、$x^3-1$ が $x^2+x+1$ で割り切れる性質を利用して、割られる式の次数を大幅に下げるのが定石である。具体的には、多項式の変形を用いて次数を下げる方法と、$x^2+x+1=0$ の虚数解（いわゆる $\omega$）を代入して剰余の定理を利用する方法の2つが考えられる。

解法1

割られる式 $x^{101} - x$ を次のように変形する。

$$x^{101} - x = x^2 \cdot x^{99} - x = x^2 (x^{99} - 1) + x^2 - x$$

ここで、$x^{99} - 1 = (x^3)^{33} - 1$ である。因数分解の公式 $A^n - B^n = (A-B)(A^{n-1} + A^{n-2}B + \cdots + B^{n-1})$ を用いると、$(x^3)^{33} - 1$ は $x^3 - 1$ を因数にもつことがわかる。

さらに、$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ であるため、$x^3 - 1$ は $x^2+x+1$ の倍式である。よって、$(x^3)^{33} - 1$ も $x^2+x+1$ で割り切れる。多項式 $Q(x)$ を用いて、次のように表すことができる。

$$x^{99} - 1 = (x^2+x+1)Q(x)$$

これをもとの式に代入する。

$$x^{101} - x = x^2 (x^2+x+1)Q(x) + x^2 - x$$

この等式から、$x^{101} - x$ を $x^2+x+1$ で割った余りは、$x^2 - x$ を $x^2+x+1$ で割った余りに等しいことがわかる。

$x^2 - x$ を $x^2+x+1$ で割ると、以下のようになる。

$$x^2 - x = (x^2+x+1) \cdot 1 - 2x - 1$$

したがって、求める余りは $-2x - 1$ である。

解法2

割る式 $x^2+x+1$ が2次式であるから、求める余りは1次以下の整式である。実数 $a, b$ を用いて、余りを $ax+b$ とおく。商を $Q(x)$ とすると、次の恒等式が成り立つ。

$$x^{101} - x = (x^2+x+1)Q(x) + ax+b$$

ここで、方程式 $x^2+x+1=0$ の虚数解の1つを $\omega$ とおく。$\omega$ は $\omega^2+\omega+1=0$ を満たす。

また、両辺に $\omega-1$ を掛けると $(\omega-1)(\omega^2+\omega+1)=0$ となるため、$\omega^3-1=0$ すなわち $\omega^3=1$ が成り立つ。

先ほどの恒等式に $x = \omega$ を代入する。

$$\omega^{101} - \omega = (\omega^2+\omega+1)Q(\omega) + a\omega+b$$

$\omega^2+\omega+1=0$ であるから、右辺は $a\omega+b$ となる。

左辺について、$\omega^3=1$ を用いて次数を下げる。

$$\omega^{101} = (\omega^3)^{33} \cdot \omega^2 = 1^{33} \cdot \omega^2 = \omega^2$$

これより、左辺は $\omega^2 - \omega$ となる。さらに $\omega^2+\omega+1=0$ より $\omega^2 = -\omega-1$ であるから、次のように変形できる。

$$\omega^2 - \omega = (-\omega-1) - \omega = -2\omega - 1$$

したがって、左辺と右辺を等置すると次の関係式が得られる。

$$-2\omega - 1 = a\omega + b$$

これを整理する。

$$(a+2)\omega + (b+1) = 0$$

$a, b$ は実数であり、$\omega$ は虚数である。したがって、$a+2=0$ かつ $b+1=0$ が成り立たなければならない。

これらを解くと、$a = -2$、$b = -1$ となる。

したがって、求める余りは $-2x - 1$ である。

解説

高次式を2次式や3次式で割った余りを求める問題では、直接割り算を実行するのは現実的ではない。本問のように割る式が $x^2+x+1$ の場合、$x^3-1$ の因数であることを利用して、$x^3 = 1$ の関係を作り出し次数を下げるアプローチが非常に有効である。

解法1は多項式の変形に徹した手法であり、記述が簡潔で論理の飛躍もないため実戦的である。解法2は複素数 $\omega$ の性質を利用した有名な解法である。実数係数の多項式の剰余を考える際、虚数を代入した結果生じる等式において、「実部と虚部の比較」によって未知数を決定できるという論理構造を正しく記述することが求められる。

答え

$-2x - 1$