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数学2 高次方程式問題 3 解説

方針・初手

2つの方程式の共通解を $\alpha$ とおき、2つの式に代入して $\alpha$ と $p$ についての連立方程式を作る。
①の左辺を $f(x)$ とすると、②の左辺は $f'(x)$ となる。すなわち、この問題は「$f(x)=0$ と $f'(x)=0$ が共通解をもつ」、言い換えれば「$f(x)=0$ が重解をもつ」条件を求めることと同値である。
問題文には $p$ が実数であるという条件が明記されていないため、論理的な漏れを防ぐために複素数の範囲まで考慮して解を導出する。

解法1

(1) 2つの方程式 ①、② の共通解を $\alpha$ とおく。 $\alpha$ をそれぞれの方程式に代入すると、以下の式が成り立つ。

$$\begin{cases} \alpha^3 + p\alpha + 2 = 0 \cdots \text{③} \\ 3\alpha^2 + p = 0 \cdots \text{④} \end{cases}$$

④より、

$$p = -3\alpha^2 \cdots \text{⑤}$$

これを③に代入して $p$ を消去すると、

$$\alpha^3 + (-3\alpha^2)\alpha + 2 = 0$$

整理すると、

$$-2\alpha^3 + 2 = 0$$

$$\alpha^3 = 1$$

$$(\alpha - 1)(\alpha^2 + \alpha + 1) = 0$$

これを解くと、$\alpha = 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ となる。これらを⑤に代入して $p$ の値を求める。

(i) $\alpha = 1$ のとき

$$p = -3 \cdot 1^2 = -3$$

(ii) $\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ のとき $\alpha$ は $\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$ を満たす解であるから、$\alpha^2 = -\alpha - 1$ が成り立つ。したがって、

$$p = -3(-\alpha - 1) = 3\alpha + 3 = 3 \cdot \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} + 3 = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$$

以上より、求める $p$ の値は、

$$p = -3, \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$$

(2) (1)で求めた $p$ の値ごとに場合分けして、方程式①、②を解く。

(i) $p = -3$ のとき ①は $x^3 - 3x + 2 = 0$ となる。 (1)より $x=1$ を解にもつことが分かっているので、左辺は $x-1$ で因数分解できる。また、②の条件から $x=1$ は重解である。

$$(x-1)^2(x+2) = 0$$

よって、①の解は $x = 1, -2$ である。

②は $3x^2 - 3 = 0$ となる。

$$x^2 - 1 = 0$$

$$(x-1)(x+1) = 0$$

よって、②の解は $x = 1, -1$ である。

(ii) $p = \frac{3 \pm 3\sqrt{3}i}{2}$ のとき（複号同順）共通解を $\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ とする。 ①は $x^3 - 3\alpha^2 x + 2 = 0$ となる。 $x = \alpha$ はこの方程式の重解であるため、解と係数の関係より、3つの解の和は $0$ となる。もう1つの解を $\beta$ とすると、

$$\alpha + \alpha + \beta = 0$$

$$\beta = -2\alpha = -2 \cdot \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2} = 1 \mp \sqrt{3}i$$

よって、①の解は $x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$（重解）、$1 \mp \sqrt{3}i$ である。

②は $3x^2 - 3\alpha^2 = 0$ となる。

$$x^2 = \alpha^2$$

$$x = \pm \alpha$$

$\alpha = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ であるから、$-\alpha = \frac{1 \mp \sqrt{3}i}{2}$ となる。よって、②の解は $x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}i}{2}, \frac{1 \mp \sqrt{3}i}{2}$ である。

解説

方程式の共通解問題の定石通り、共通解を $\alpha$ とおいて連立方程式に帰着させるアプローチが有効である。
①の左辺を $f(x)$ とおくと、②は $f'(x)=0$ となっている。共通解をもつということは、$f(x)=0$ と $f'(x)=0$ が共通解をもつ、すなわち方程式 $f(x)=0$ が重解をもつことと同義である。この性質を意識すると、(2)で①を解く際に「共通解が重解になる」という事実や、解と係数の関係を利用して計算を大幅に省略できる。
問題文に「$p$ は実数である」という指定がないため、厳密には複素数の範囲まで考慮する必要がある。大学入試において係数の条件が明記されていない場合は実数係数であることを暗黙の前提とするケースも多いが（その場合は $\alpha=1$、$p=-3$ のみが適する）、本解答では論理の飛躍や条件漏れを避けるため、複素数の場合も含めて全ての場合を網羅した。