数学2 高次方程式 問題 4 解説

方針・初手

与えられた3次方程式を因数定理を用いて因数分解し、1次式と2次式の積の形にする。その後、問題の「正の重解をもつ」という条件を、得られた2次方程式が満たすべき条件へと帰着させる。

解法1

与えられた方程式の左辺を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = x^3 - (a+7)x^2 + (a+29)x + 2a + 37$$

$x = -1$ を代入すると、

$$\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 - (a+7)(-1)^2 + (a+29)(-1) + 2a + 37 \\ &= -1 - a - 7 - a - 29 + 2a + 37 \\ &= 0 \end{aligned}$$

となるため、因数定理より $f(x)$ は $x+1$ を因数にもつ。$f(x)$ を $x+1$ で割ると、商は $x^2 - (a+8)x + 2a + 37$ となるから、与えられた方程式は次のように変形できる。

$$(x+1)(x^2 - (a+8)x + 2a + 37) = 0$$

したがって、方程式の解は $x = -1$ と、2次方程式

$$x^2 - (a+8)x + 2a + 37 = 0 \quad \cdots (*)$$

の解である。

$x = -1$ は負の数であるため、与えられた3次方程式が「正の重解」をもつためには、2次方程式 $(*)$ 自身が正の重解をもつ必要がある。

2次方程式 $(*)$ の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ となるので、

$$\begin{aligned} D &= (a+8)^2 - 4(2a + 37) \\ &= a^2 + 16a + 64 - 8a - 148 \\ &= a^2 + 8a - 84 \end{aligned}$$

$D = 0$ より、

$$a^2 + 8a - 84 = 0$$

$$(a-6)(a+14) = 0$$

これを解いて、$a = 6, -14$ を得る。

また、2次方程式 $(*)$ が重解をもつとき、その重解は $x = \frac{a+8}{2}$ である。

(i) $a = 6$ のとき

重解は $x = \frac{6+8}{2} = 7$ となり、これは正の重解である。また、$a=6$ は正数であるという条件も満たす。

(ii) $a = -14$ のとき

重解は $x = \frac{-14+8}{2} = -3$ となり、正の重解ではない。また、$a$ が正数であるという条件にも反する。

以上より、求める正数 $a$ は $a = 6$ であり、そのときの重解は $x = 7$ である。

解説

文字定数を含む3次方程式の問題では、まず定数項などの文字に着目して因数定理を利用し、具体的な解を1つ見つけるのが定石である。本問では $x=-1$ を代入することで $a$ が消去され、$0$ になることが確認できる。

1つの解が求まった後は、残りの2次方程式の条件に帰着させる。このとき、単に判別式 $D=0$ を解くだけでなく、「重解が正であること」および「$a$ が正数であること」の確認を忘れないことが重要である。

答え

ア：$6$

イ：$7$