数学2 高次方程式問題 5 解説

方針・初手

$x^2 = t$ とおくことで、$x$ についての4次方程式を $t$ についての2次方程式に帰着させる。$x$ が実数であるためには $t \ge 0$ である必要がある。与えられた4次方程式の解がすべて実数となる条件を、対応する $t$ の2次方程式が $t \ge 0$ の範囲に2つの解（重解を含む）をもつ条件として言い換えて処理する。

解法1

$x^2 = t$ とおくと、与えられた方程式は

$$t^2 + (1-k)t + 2 - k^2 = 0$$

となる。$x$ が実数であるための条件は $t \ge 0$ である。したがって、与えられた $x$ の4次方程式の解がすべて実数となるための条件は、$t$ についての2次方程式 $f(t) = t^2 + (1-k)t + 2 - k^2 = 0$ が $t \ge 0$ の範囲に2つの解（重解を含む）をもつことである。

これが成り立つための条件は、2次関数 $y = f(t)$ のグラフが $t \ge 0$ の部分で $t$ 軸と2つの共有点（接する場合を含む）をもつことである。以下の3つの条件を同時に満たせばよい。

(i) 判別式 $D \ge 0$ (ii) 軸の位置が $t \ge 0$ (iii) $f(0) \ge 0$

(i) について 2次方程式 $f(t) = 0$ の判別式を $D$ とすると

$$D = (1-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2-k^2) \ge 0$$

$$1 - 2k + k^2 - 8 + 4k^2 \ge 0$$

$$5k^2 - 2k - 7 \ge 0$$

$$(5k - 7)(k + 1) \ge 0$$

よって

$$k \le -1, \quad \frac{7}{5} \le k$$

(ii) について放物線 $y = f(t)$ の軸の方程式は $t = \frac{k-1}{2}$ であるから

$$\frac{k-1}{2} \ge 0$$

よって

$$k \ge 1$$

(iii) について $t=0$ での $y$ の値が $0$ 以上であるから

$$f(0) = 2 - k^2 \ge 0$$

$$k^2 - 2 \le 0$$

よって

$$-\sqrt{2} \le k \le \sqrt{2}$$

(i), (ii), (iii) の共通範囲を求める。ここで、$\left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25} = 1.96$ であり、$(\sqrt{2})^2 = 2$ であるから、$\frac{7}{5} < \sqrt{2}$ である。したがって、求める $k$ の値の範囲は

$$\frac{7}{5} \le k \le \sqrt{2}$$

解説

複2次式（$x^4$、$x^2$、定数項のみからなる式）の解の判別に関する典型問題である。$x^2=t$ とおいたときの「$x$ が実数 $\iff t \ge 0$」という対応関係を利用して、2次方程式の解の配置問題に帰着させるのが定石である。$t \ge 0$ の範囲に2つの解をもつ条件は、「判別式」「軸の位置」「端点での符号」の3つを調べることで求められる。最後に $\frac{7}{5}$ と $\sqrt{2}$ の大小関係を正しく評価し、共通範囲を求める必要がある。