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数学2 高次方程式問題 6 解説

方針・初手

求める方程式の解は、元の方程式の解にそれぞれ $1$ を加えたものである。このような「解の平行移動」を扱う場合、変数を置き換える方法が最も簡明である。また、解と係数の関係を用いて新しい方程式の係数を対称式の計算から直接求めることもできる。

解法1

新しい方程式の解を $X$ とすると、$x = \alpha, \beta, \gamma$ に対して $X = x + 1$ が成り立つ。

これを $x$ について解くと、

$$x = X - 1$$

となる。これを元の3次方程式 $x^3 + 3x^2 + 5x + 10 = 0$ に代入すると、

$$(X - 1)^3 + 3(X - 1)^2 + 5(X - 1) + 10 = 0$$

となる。左辺を展開して整理する。

$$(X^3 - 3X^2 + 3X - 1) + 3(X^2 - 2X + 1) + 5(X - 1) + 10 = 0$$

$$X^3 + (-3 + 3)X^2 + (3 - 6 + 5)X + (-1 + 3 - 5 + 10) = 0$$

$$X^3 + 2X + 7 = 0$$

これが求める方程式の1つである。問題文で与えられた形 $x^3 + \text{ア}x + \text{イ} = 0$ と比較すると、アに当てはまる値は $2$、イに当てはまる値は $7$ である。

解法2

3次方程式の解と係数の関係を用いる。

元の方程式 $x^3 + 3x^2 + 5x + 10 = 0$ の解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから、

$$\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = -3 \\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = 5 \\ \alpha\beta\gamma = -10 \end{cases}$$

が成り立つ。

求める方程式の解は $\alpha+1, \beta+1, \gamma+1$ であり、$x^2$ の係数は問題文より $0$ であるから、これら3つの解の和は $0$ になるはずである。実際に計算すると、

$$(\alpha+1) + (\beta+1) + (\gamma+1) = (\alpha + \beta + \gamma) + 3 = -3 + 3 = 0$$

となり、確かに $x^2$ の係数が $0$ の形になる。

次に、2つの解の積の和を求める。これが「ア」に該当する。

$$\begin{aligned} & (\alpha+1)(\beta+1) + (\beta+1)(\gamma+1) + (\gamma+1)(\alpha+1) \\ &= (\alpha\beta + \alpha + \beta + 1) + (\beta\gamma + \beta + \gamma + 1) + (\gamma\alpha + \gamma + \alpha + 1) \\ &= (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) + 2(\alpha + \beta + \gamma) + 3 \\ &= 5 + 2 \cdot (-3) + 3 \\ &= 2 \end{aligned}$$

したがって、アは $2$ である。

最後に、3つの解の積を求める。新しい方程式の定数項「イ」は、この積の符号を反転させたものになる。

$$\begin{aligned} & (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) \\ &= (\alpha\beta + \alpha + \beta + 1)(\gamma+1) \\ &= \alpha\beta\gamma + \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha + \beta + \gamma + 1 \\ &= -10 + 5 + (-3) + 1 \\ &= -7 \end{aligned}$$

定数項「イ」は、解の積にマイナスをつけた値であるから、

$$\text{イ} = -(-7) = 7$$

である。