数学2 高次方程式問題 7 解説

方針・初手

与えられた3次方程式が因数分解できることに着目する。$x=k$ を代入して成り立つことから、$(x-k)$ を因数にもつことがわかる。これを用いて方程式を1次式と2次式の積に分解し、2次方程式が虚数解をもつ条件を考える。 (2)については、解と係数の関係および、解が方程式を満たすことを利用して条件式を簡単にする。$\alpha$ が実数であることを示すには、背理法を用いて虚数と仮定し矛盾を導く方針をとる。

解法1

(1)

与えられた方程式 $x^3 + (1-k^2)x - k = 0$ について、左辺に $x=k$ を代入すると

$$k^3 + (1-k^2)k - k = k^3 + k - k^3 - k = 0$$

となるから、左辺は $x-k$ を因数にもつ。因数分解すると

$$(x-k)(x^2 + kx + 1) = 0$$

この方程式が虚数解をもつのは、2次方程式 $x^2 + kx + 1 = 0$ が虚数解をもつときである。その判別式を $D$ とすると、$D < 0$ であればよいので

$$D = k^2 - 4 < 0$$

これを解いて、求める $k$ の範囲は

$$-2 < k < 2$$

(2)

$\alpha, \beta, \gamma$ は方程式 $x^3 + (1-k^2)x - k = 0$ の解であるから、解と係数の関係より

$$\alpha + \beta + \gamma = 0$$

また、$\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3 = (k^2-1)x + k$ を満たすので

$$\alpha^3 = (k^2-1)\alpha + k$$

$$\beta^3 = (k^2-1)\beta + k$$

$$\gamma^3 = (k^2-1)\gamma + k$$

これらを辺々加えると

$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = (k^2-1)(\alpha + \beta + \gamma) + 3k = 3k$$

よって、与えられた条件式 $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = -2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ は次のように書き換えられる。

$$3k = -2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$$

ここで、$\alpha$ が虚数であると仮定して矛盾を導く。 $\alpha$ が虚数であるとき、(1)より実数解は $k$ のみであるから、$\beta, \gamma$ の一方は $\alpha$ と共役な複素数 $\bar{\alpha}$ であり、もう一方は実数解 $k$ である。対称性から $\beta = \bar{\alpha}$、$\gamma = k$ としても一般性を失わない。 $\alpha, \bar{\alpha}$ は $x^2 + kx + 1 = 0$ の解であるから

$$\alpha^2 = -k\alpha - 1$$

$$\bar{\alpha}^2 = -k\bar{\alpha} - 1$$

条件式 $3k = -2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ に代入すると

$$3k = -2(-k\alpha - 1) + (-k\bar{\alpha} - 1) + k^2$$

$$3k = 2k\alpha + 2 - k\bar{\alpha} - 1 + k^2$$

$$3k - k^2 - 1 = k(2\alpha - \bar{\alpha})$$

ここで $\alpha = p + qi$（$p, q$ は実数、$q \neq 0$）とおくと

$$2\alpha - \bar{\alpha} = 2(p+qi) - (p-qi) = p + 3qi$$

よって

$$3k - k^2 - 1 = k(p + 3qi) = kp + 3kqi$$

左辺は実数であるから、右辺の虚部も $0$ となる必要があり、$3kq = 0$ である。$q \neq 0$ より $k = 0$ となる。 $k = 0$ を上式の実部に代入すると

$$-1 = 0 \cdot p = 0$$

となり、$-1 = 0$ という矛盾が生じる。したがって、$\alpha$ は実数である。（証明終）

$\alpha$ は実数であるから、(1)より $\alpha = k$ となる。このとき、残りの解 $\beta, \gamma$ は $x^2 + kx + 1 = 0$ の2つの虚数解であるから、解と係数の関係より

$$\beta + \gamma = -k$$

$$\beta\gamma = 1$$

よって

$$\beta^2 + \gamma^2 = (\beta + \gamma)^2 - 2\beta\gamma = (-k)^2 - 2 = k^2 - 2$$

条件式 $3k = -2\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ に $\alpha = k$ と $\beta^2 + \gamma^2 = k^2 - 2$ を代入すると

$$3k = -2k^2 + k^2 - 2$$

$$k^2 + 3k + 2 = 0$$

$$(k+1)(k+2) = 0$$

$k = -1, -2$ となるが、(1)の条件 $-2 < k < 2$ より $k = -1$ である。

$k = -1$ のとき、方程式は $x^3 + 1 = 0$ となる。因数分解して

$$(x+1)(x^2 - x + 1) = 0$$

よって、方程式の解は $x = -1, \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ である。

解説

3次方程式の解を扱う際、因数定理を用いて実数解を1つ見つけるのが定石である。文字が含まれていても、$x$ に文字式を代入して $0$ にならないか探る姿勢が重要である。 (2)では、解と係数の関係や「解は方程式を満たす」という性質を用いて次数を下げる工夫が求められる。「実数であることを示せ」という問題に対しては、直接示すのが難しい場合、背理法を用いて虚数と仮定して矛盾を導くアプローチが有効である。