数学2 高次方程式 問題 9 解説

方針・初手

与えられた3次方程式の係数が対称に近い形をしていることに着目し、因数分解を試みる。

$x=-1$ を代入すると成り立つことが容易にわかるため、因数定理を用いて1次式と2次式の積の形に分解する。これにより、3次方程式の解の条件を、残りの2次方程式の解の配置問題に帰着させることができる。

解法1

方程式 $ax^3+bx^2+bx+a=0$ の左辺を変形する。

$$a(x^3+1)+bx(x+1) = 0$$

$$a(x+1)(x^2-x+1)+bx(x+1) = 0$$

$$(x+1)\{a(x^2-x+1)+bx\} = 0$$

$$(x+1)\{ax^2+(b-a)x+a\} = 0$$

よって、方程式①の解は $x = -1$ および次の2次方程式の解である。

$$ax^2+(b-a)x+a=0 \quad \cdots \text{②}$$

(1)

方程式①が3つの異なる実数解をもつための条件は、2次方程式②が $x \neq -1$ である異なる2つの実数解をもつことである。

②の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ である。

$$\begin{aligned} D &= (b-a)^2 - 4a \cdot a \\ &= b^2 - 2ab - 3a^2 \\ &= (b-3a)(b+a) \end{aligned}$$

よって、次が成り立つ。

$$(b-3a)(b+a) > 0$$

また、②が $x = -1$ を解にもつかどうかを確認する。②に $x = -1$ を代入すると次のようになる。

$$a(-1)^2 + (b-a)(-1) + a = 3a - b$$

$3a - b = 0$、すなわち $b = 3a$ のとき、②は $x = -1$ を解にもつ。しかし、このとき $D = 0$ となり $D > 0$ を満たさない。したがって、$D > 0$ であれば、②が $x = -1$ を解にもつことはない。

以上より、求める条件は次の通りである。

$$(b-3a)(b+a) > 0 \quad \text{かつ} \quad a \neq 0$$

これを $ab$ 平面上に図示すると、直線 $b=3a$ と $b=-a$ を境界とする領域のうち、$b$ 軸を含まない上下の領域となる。

(2)

方程式①はすでに負の実数解 $x = -1$ をもっている。

したがって、①が負の実数解を1つ、正の異なる実数解を2つもつための条件は、2次方程式②が正の異なる2つの実数解をもつことである。

2次方程式②が正の異なる2つの実数解をもつための条件は、②の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、次の3つの条件をすべて満たすことである。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) $\alpha + \beta > 0$

(iii) $\alpha \beta > 0$

(i) より、(1)と同様に次の不等式を得る。

$$(b-3a)(b+a) > 0$$

(ii) について、解と係数の関係より次が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{b-a}{a} > 0$$

これを変形すると次のようになる。

$$\frac{b-a}{a} < 0$$

両辺に $a^2$ ($> 0$) を掛けると、次を得る。

$$a(b-a) < 0$$

(iii) について、解と係数の関係より次が成り立つ。

$$\alpha \beta = \frac{a}{a} = 1 > 0$$

これは $a \neq 0$ のもとで常に成り立つ。

以上をまとめると、求める条件は次の連立不等式で表される。

$$\begin{cases} (b-3a)(b+a) > 0 \\ a(b-a) < 0 \\ a \neq 0 \end{cases}$$

これを $ab$ 平面上に図示すると、直線 $b=3a$, $b=-a$, $b=a$ を境界とする領域となる。

解説

高次方程式の解の判別問題である。3次以上の方程式は、まず因数定理を用いて1次式と2次式（またはそれ以下）の積に因数分解できるかを探るのが基本である。本問のように係数が対称的な配置になっている場合は、容易に解を見つけることができる。

2次方程式に帰着させた後は、判別式だけでなく、すでに見つかっている解（本問では $x=-1$）と重ならないかの確認を忘れないようにすることが重要である。(2)では「正の異なる実数解を2つ」という条件に対して、解と係数の関係を利用する定石を用いることでスムーズに処理できる。

答え

(1) 不等式 $(b-3a)(b+a) > 0$ かつ $a \neq 0$ が表す領域（境界線を含まない）。

(2) 連立不等式 $(b-3a)(b+a) > 0$ かつ $a(b-a) < 0$ かつ $a \neq 0$ が表す領域（境界線を含まない）。