数学2 高次方程式問題 10 解説

方針・初手

2つの多項式の最大公約数を考えるにあたり、まず係数に文字を含まない方の多項式を因数分解し、その因数を調べる。その後、もう一方の多項式がその因数をどのようにもてば最大公約数が2次式になるかを考える。

解法1

$P(x) = x^3+ax^2+(a-22)x-12a+39$ 、$Q(x) = x^3+2x^2-11x-12$ とおく。 $Q(x)$ に $x=-1$ を代入すると $Q(-1) = -1+2+11-12=0$ となるから、$Q(x)$ は $x+1$ を因数にもつ。$Q(x)$ を因数分解すると、

$$\begin{aligned} Q(x) &= (x+1)(x^2+x-12) \\ &= (x+1)(x-3)(x+4) \end{aligned}$$

となる。 $P(x)$ と $Q(x)$ の最大公約数は2次式であるから、$P(x)$ は $Q(x)$ の因数である $x+1$、$x-3$、$x+4$ のうち、ちょうど2つを因数にもつ。因数定理を用いて $P(x)$ の値を調べると、

$$\begin{aligned} P(-1) &= -1+a-(a-22)-12a+39 = -12a+60 \\ P(3) &= 27+9a+3(a-22)-12a+39 = 0 \\ P(-4) &= -64+16a-4(a-22)-12a+39 = 63 \end{aligned}$$

となる。 $a$ の値によらず $P(3)=0$、$P(-4)=63 \neq 0$ であるから、$P(x)$ は常に $x-3$ を因数にもち、$x+4$ を因数にもたない。したがって、$P(x)$ と $Q(x)$ の最大公約数が2次式となる条件は、$P(x)$ が $x+1$ を因数にもつこと、すなわち $P(-1)=0$ となることである。

$$-12a+60 = 0$$

これを解いて、$a=5$ を得る。このとき、最大公約数は $(x-3)(x+1) = x^2-2x-3$ となる。

念のため、$a=5$ のときの $P(x)$ を確認すると、

$$P(x) = x^3+5x^2-17x-21 = (x+1)(x-3)(x+7)$$

となり、$Q(x) = (x+1)(x-3)(x+4)$ との最大公約数は確かに $x^2-2x-3$ となり、条件を満たす。