数学2 高次方程式問題 11 解説

方針・初手

与えられた方程式が $x=1$ と $x=3$ を解に持つという条件から、$a, b$ についての連立方程式を立てて解くのが自然である。求まった $a, b$ の値を元の方程式に代入し、因数定理を利用して左辺を因数分解し、残りの解を求める。

また、方程式が $(x-1)(x-3)$ すなわち $x^2-4x+3$ で割り切れることに着目し、恒等式を立てて係数比較を行う方法も有効である。

解法1

与えられた方程式を $P(x) = 0$ とする。すなわち、

$$P(x) = x^4 + ax^3 + (a+3)x^2 + 16x + b$$

とおく。方程式が $x=1, 3$ を解に持つから、$P(1)=0$ かつ $P(3)=0$ が成り立つ。

$P(1) = 0$ より、

$$1 + a + (a+3) + 16 + b = 0$$

整理して、

$$2a + b + 20 = 0 \quad \cdots \text{①}$$

$P(3) = 0$ より、

$$3^4 + a \cdot 3^3 + (a+3) \cdot 3^2 + 16 \cdot 3 + b = 0$$

$$81 + 27a + 9(a+3) + 48 + b = 0$$

$$81 + 27a + 9a + 27 + 48 + b = 0$$

整理して、

$$36a + b + 156 = 0 \quad \cdots \text{②}$$

② $-$ ① を計算すると、

$$34a + 136 = 0$$

$$34a = -136$$

$$a = -4$$

これを①に代入して、

$$2(-4) + b + 20 = 0$$

$$b = -12$$

以上より、$a = -4, b = -12$ である。このとき、元の方程式は

$$x^4 - 4x^3 - x^2 + 16x - 12 = 0$$

となる。左辺は $(x-1)(x-3)$、すなわち $x^2-4x+3$ で割り切れるから、割り算を実行するか、係数を調整することで次のように因数分解できる。

$$(x^2 - 4x + 3)(x^2 - 4) = 0$$

$$(x-1)(x-3)(x-2)(x+2) = 0$$

これより、解は $x = 1, 3, 2, -2$ である。すでに分かっている解 $1, 3$ を除いた残りの2つの解は $2, -2$ である。

解法2

与えられた4次方程式は $x=1, 3$ を解に持つため、左辺の4次式は $(x-1)(x-3) = x^2-4x+3$ を因数に持つ。

$x^4$ の係数が $1$ であることから、残りの2次因数を $x^2+cx+d$ （$c, d$ は実数）とおくことができる。すなわち、以下の恒等式が成り立つ。

$$x^4 + ax^3 + (a+3)x^2 + 16x + b = (x^2 - 4x + 3)(x^2 + cx + d)$$

右辺を展開して $x$ について整理する。

$$(x^2 - 4x + 3)(x^2 + cx + d) = x^4 + (c-4)x^3 + (d-4c+3)x^2 + (3c-4d)x + 3d$$

両辺の同じ次数の項の係数を比較して、以下の関係式を得る。

$$\begin{cases} a = c - 4 \quad \cdots \text{①} \\ a + 3 = d - 4c + 3 \quad \cdots \text{②} \\ 16 = 3c - 4d \quad \cdots \text{③} \\ b = 3d \quad \cdots \text{④} \end{cases}$$

②より $a = d - 4c$ であるから、これを①に代入して、

$$d - 4c = c - 4$$

$$d = 5c - 4 \quad \cdots \text{⑤}$$

⑤を③に代入して $c$ を求める。

$$16 = 3c - 4(5c - 4)$$

$$16 = 3c - 20c + 16$$

$$-17c = 0$$

$$c = 0$$

$c=0$ を⑤に代入して、

$$d = -4$$

$c=0, d=-4$ を①、④にそれぞれ代入して $a, b$ を求める。

$$a = 0 - 4 = -4$$

$$b = 3(-4) = -12$$

残りの2つの解は、方程式 $x^2+cx+d = 0$ すなわち $x^2-4 = 0$ の解であるから、

$$x^2 = 4$$

$$x = \pm 2$$

である。

解説

方程式が特定の解を持つという条件から、未定係数を決定する典型的な問題である。解法1のように解を直接代入して連立方程式を解く方針が最も素直であるが、解法2のように因数定理を適用して恒等式として扱う方針も汎用性が高い。どちらの解法を選択しても計算量はさほど多くないため、計算ミスに気をつけて確実に得点したい問題である。