数学2 高次方程式問題 12 解説

方針・初手

(1) は多項式の割り算に関する証明である。ある多項式が $x - a$ で割り切れることを示すには、因数定理を用いて、その多項式に $x = a$ を代入したときの値が $0$ になることを確認すればよい。

(2) は4次方程式を解く問題であるが、直接展開して解こうとすると計算が煩雑になる。(1) の結果が誘導になっていることに着目する。$f(x) = x$ を満たす $x$ の値（これを $\alpha$ とおく）に対して、$f(f(x)) - x$ は $x - \alpha$ で割り切れる。この性質を利用して、$f(f(x)) - x$ を因数分解する方針をとる。

解法1

(1)

$$g(x) = f(f(x)) - x$$

とおく。因数定理より、$g(x)$ が $x - a$ で割り切れることを示すには、$g(a) = 0$ を示せばよい。

$x = a$ を代入すると、

$$g(a) = f(f(a)) - a$$

となる。ここで、条件 $f(a) = a$ を用いると、$f(f(a)) = f(a) = a$ となるから、

$$g(a) = a - a = 0$$

が成り立つ。したがって、因数定理により $f(f(x)) - x$ は $x - a$ で割り切れる。

(2)

(1) の結果より、$f(x) = x$ を満たす $x$ は、$f(f(x)) - x = 0$ の解となる。

方程式 $f(x) = x$ を解く。

$$x^2 - x - 2 = x$$

$$x^2 - 2x - 2 = 0$$

この2次方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、(1) より $f(f(x)) - x$ は $x - \alpha$ および $x - \beta$ で割り切れる。すなわち、$f(f(x)) - x$ は $(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - 2x - 2$ を因数にもつ。

次に、$f(f(x)) - x$ を具体的に計算する。

$$\begin{aligned} f(f(x)) - x &= f(x^2 - x - 2) - x \\ &= (x^2 - x - 2)^2 - (x^2 - x - 2) - 2 - x \\ &= (x^4 + x^2 + 4 - 2x^3 - 4x^2 + 4x) - x^2 + x - 2 - x \\ &= x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 4x + 4 \end{aligned}$$

この4次式は $x^2 - 2x - 2$ で割り切れるはずである。実際に多項式の割り算を行うと、

$$x^4 - 2x^3 - 4x^2 + 4x + 4 = (x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2)$$

となる。したがって、方程式 $f(f(x)) - x = 0$ は次のように因数分解できる。

$$(x^2 - 2x - 2)(x^2 - 2) = 0$$

よって、求める $x$ の値は

$$x^2 - 2x - 2 = 0 \quad \text{または} \quad x^2 - 2 = 0$$

を解いて、

$$x = 1 \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{2}$$

となる。