数学2 高次方程式 問題 13 解説

方針・初手

与えられた4次方程式は、2つの2次式の積として表されている。この方程式が相異なる4個の実数解をもつことを示すには、以下の2点を示せばよい。

1. 2つの2次方程式 $x^2 - px - q^2 = 0$ と $x^2 - qx - p^2 = 0$ が、それぞれ相異なる2つの実数解をもつこと。
2. これら2つの2次方程式が共通の実数解をもたないこと。

これらを判別式および背理法を用いて順番に証明していく。

解法1

与えられた4次方程式の左辺を構成する2つの2次方程式を、それぞれ以下のように定める。

$$x^2 - px - q^2 = 0 \quad \cdots \text{(1)}$$

$$x^2 - qx - p^2 = 0 \quad \cdots \text{(2)}$$

方程式 (1) および (2) の判別式をそれぞれ $D_1, D_2$ とすると、

$$D_1 = (-p)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-q^2) = p^2 + 4q^2$$

$$D_2 = (-q)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-p^2) = q^2 + 4p^2$$

となる。条件 $pq < 0$ より、$p \neq 0$ かつ $q \neq 0$ である。したがって、$p^2 > 0$ かつ $q^2 > 0$ となるため、$D_1 > 0$ かつ $D_2 > 0$ が成り立つ。これにより、方程式 (1) と (2) はそれぞれ相異なる2つの実数解をもつことが示された。

次に、方程式 (1) と (2) が共通の実数解 $\alpha$ をもつと仮定する。このとき、以下の2式が成り立つ。

$$\alpha^2 - p\alpha - q^2 = 0 \quad \cdots \text{(3)}$$

$$\alpha^2 - q\alpha - p^2 = 0 \quad \cdots \text{(4)}$$

(3) から (4) を辺々引くと、

$$(\alpha^2 - p\alpha - q^2) - (\alpha^2 - q\alpha - p^2) = 0$$

$$(q - p)\alpha + p^2 - q^2 = 0$$

$$-(p - q)\alpha + (p - q)(p + q) = 0$$

$$(p - q)(\alpha - p - q) = 0 \quad \cdots \text{(5)}$$

ここで、条件 $pq < 0$ より $p$ と $q$ は異符号であるため、$p \neq q$ すなわち $p - q \neq 0$ である。したがって、式 (5) から $\alpha = p + q$ が得られる。

これを式 (3) に代入すると、

$$(p + q)^2 - p(p + q) - q^2 = 0$$

展開して整理すると、

$$p^2 + 2pq + q^2 - p^2 - pq - q^2 = 0$$

$$pq = 0$$

となる。しかし、これは条件 $pq < 0$ に矛盾する。

ゆえに、方程式 (1) と (2) は共通の実数解をもたない。

以上より、方程式 (1) と (2) はそれぞれ相異なる2つの実数解をもち、かつ共通解をもたないため、与えられた4次方程式 $(x^2 - px - q^2)(x^2 - qx - p^2) = 0$ は相異なる4個の実数解をもつことが証明された。

解説

2つの多項式の積で表された方程式 $A(x)B(x) = 0$ の解の個数を考える際の典型問題である。それぞれの因子が $0$ になる方程式の解を調べることと、それらが重複しないか（共通解をもたないか）を確認することの2段階で論証を行う。

共通解をもつと仮定して連立方程式を作り、最高次の項を消去して共通解の候補を絞り込む手法は、共通解問題の定石である。ここで得られた候補を元の式に代入し、与えられた条件に矛盾することを導くことで、背理法を完遂できる。

答え

方程式 $x^2 - px - q^2 = 0$ と $x^2 - qx - p^2 = 0$ がそれぞれ異なる2つの実数解をもち、かつそれらが共通解をもたないことを示し、与えられた4次方程式が相異なる4個の実数解をもつことを証明した。