数学2 高次方程式 問題 15 解説

方針・初手

前半は $x^2$ をひとつの塊と見て因数分解を行う。後半の4次方程式は、前半で因数分解した多項式が左辺に隠れていることに着目し、共通因数でくくり出す。

解法1

$8x^4 + 6x^2 - 9$ について、$x^2 = X$ とおくと、与式は $8X^2 + 6X - 9$ となる。

これをたすき掛けによって因数分解すると、

$$8X^2 + 6X - 9 = (2X + 3)(4X - 3)$$

となる。$X = x^2$ を代入して元に戻すと、

$$8x^4 + 6x^2 - 9 = (2x^2 + 3)(4x^2 - 3)$$

となる。「係数が有理数の範囲で」という指定があるため、これ以上因数分解は行わない。

次に、4次方程式 $8x^4 - 6x^3 + 6x^2 - 9x - 9 = 0$ について考える。

左辺の項の順序を入れ替えると、

$$(8x^4 + 6x^2 - 9) - 6x^3 - 9x = 0$$

となる。前半部分は先ほどの因数分解の結果を用い、後半部分は $-3x$ でくくると、

$$(2x^2 + 3)(4x^2 - 3) - 3x(2x^2 + 3) = 0$$

となる。共通因数 $2x^2 + 3$ でくくると、

$$(2x^2 + 3)(4x^2 - 3 - 3x) = 0$$

すなわち、

$$(2x^2 + 3)(4x^2 - 3x - 3) = 0$$

となる。ここで、$x$ は実数であるから $x^2 \geqq 0$ であり、常に $2x^2 + 3 > 0$ が成り立つ。

したがって、与えられた4次方程式が実数解をもつための条件は、

$$4x^2 - 3x - 3 = 0$$

が成り立つことである。この2次方程式を解の公式を用いて解くと、

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$$

となる。

解説

前半の因数分解は、複2次式の基本的な因数分解である。有理数係数の範囲という指定に注意し、$4x^2 - 3$ を無理数を用いて無理に分解しないように気をつける。

後半の4次方程式は、一般に解くのが難しいが、前半の式との形の一致に気づけば共通因数を利用して因数分解できる。実数解を求める問題であるため、常に正となる因数 $2x^2 + 3$ からは実数解が得られないことを明記する。

答え

因数分解：$(2x^2 + 3)(4x^2 - 3)$

実数解：$x = \frac{3 \pm \sqrt{57}}{8}$