数学2 高次方程式問題 17 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ に $x = -\sqrt{2}$ を直接代入して $f(-\sqrt{2})$ の値を計算する。その結果から因数定理を用いて $f(x)$ が $x + \sqrt{2}$ を因数にもつことを示し、恒等式の係数比較によって残りの2次式の係数を決定する。最後に、得られた因数分解を用いて $f(x) = 0$ の解をすべて求める。

解法1

$f(x) = x^3 + (\sqrt{2} + \sqrt{3})x^2 + (1 + \sqrt{6})x + \sqrt{2}$ に $x = -\sqrt{2}$ を代入する。

$$\begin{aligned} f(-\sqrt{2}) &= (-\sqrt{2})^3 + (\sqrt{2} + \sqrt{3})(-\sqrt{2})^2 + (1 + \sqrt{6})(-\sqrt{2}) + \sqrt{2} \\ &= -2\sqrt{2} + 2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{2}(1 + \sqrt{6}) + \sqrt{2} \\ &= -2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{2} - 2\sqrt{3} + \sqrt{2} \\ &= 0 \end{aligned}$$

計算の結果、$f(-\sqrt{2}) = 0$ となる。

因数定理により、$f(x)$ は $x - (-\sqrt{2}) = x + \sqrt{2}$ を因数にもつ。したがって、$f(x)$ の因数分解の形 $f(x) = (x + [イ])(x^2 + [ウ]x + [エ])$ と比較して、$[イ] = \sqrt{2}$ である。

$f(x)$ を $x + \sqrt{2}$ で割ったときの商を $x^2 + px + q$ とおくと、

$$\begin{aligned} f(x) &= (x + \sqrt{2})(x^2 + px + q) \\ &= x^3 + (p + \sqrt{2})x^2 + (q + \sqrt{2}p)x + \sqrt{2}q \end{aligned}$$

もとの関数 $f(x)$ の係数と比較すると、以下の関係式が成り立つ。

$$\begin{cases} p + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{3} \\ q + \sqrt{2}p = 1 + \sqrt{6} \\ \sqrt{2}q = \sqrt{2} \end{cases}$$

第1式より $p = \sqrt{3}$ であり、第3式より $q = 1$ である。これらは第2式 $1 + \sqrt{2}\sqrt{3} = 1 + \sqrt{6}$ を満たしている。したがって、$f(x) = (x + \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{3}x + 1)$ と因数分解されるため、$[ウ] = \sqrt{3}$、$[エ] = 1$ である。

次に、方程式 $f(x) = 0$ を解く。

$$(x + \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{3}x + 1) = 0$$

これより、$x + \sqrt{2} = 0$ または $x^2 + \sqrt{3}x + 1 = 0$ となる。

$x + \sqrt{2} = 0$ より、$x = -\sqrt{2}$ を得る。

$x^2 + \sqrt{3}x + 1 = 0$ については、解の公式を用いて解く。

$$x = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{-1}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm i}{2}$$

よって、方程式 $f(x) = 0$ の解は $x = -\sqrt{2}, \frac{-\sqrt{3} \pm i}{2}$ である。