数学2 高次方程式問題 18 解説

方針・初手

実数係数の方程式が虚数解をもつ場合、その共役複素数も解となることを利用する。本問では、係数の $a,\ b$ と定数項の $2$ が実数であるため、$2+3i$ に加えて $2-3i$ も解であることが確定する。残りの1つの解を実数 $\alpha$ とおき、解と係数の関係を利用するか、与式が $x=2 \pm 3i$ を解にもつ2次式で割り切れることを利用する。

解法1

$a,\ b$ は実数であるから、実数係数の3次方程式 $x^3+ax^2+bx+2=0$ が虚数解 $2+3i$ をもつとき、その共役複素数 $2-3i$ も解にもつ。

3次方程式の3つの解を $2+3i,\ 2-3i,\ \alpha$ （$\alpha$ は実数）とおく。 3次方程式の解と係数の関係より、3つの解の積は定数項の符号を反転させたものに等しいため、以下の式が成り立つ。

$$(2+3i)(2-3i)\alpha = -2$$

左辺を計算する。

$$\{2^2 - (3i)^2\}\alpha = -2$$

$$(4 + 9)\alpha = -2$$

$$13\alpha = -2$$

これより、残りの解 $\alpha$ は以下のように求まる。

$$\alpha = -\frac{2}{13}$$

よって、他の解は $2-3i$ と $-\frac{2}{13}$ である。

解法2

実数係数の3次方程式であるため、$2+3i$ とともに $2-3i$ も解にもつ。これら2つの複素数を解にもつ2次方程式を求める。 2つの解の和は $4$、積は $4 - 9i^2 = 13$ であるから、これらを解にもつ2次方程式は以下のようになる。

$$x^2 - 4x + 13 = 0$$

したがって、左辺の多項式 $x^3+ax^2+bx+2$ は $x^2-4x+13$ で割り切れる。最高次の係数が $1$ であることから、実数の定数 $c$ を用いて次のような恒等式が成り立つ。

$$x^3+ax^2+bx+2 = (x^2-4x+13)(x+c)$$

右辺を展開したときの定数項に注目すると、定数項は $13c$ となる。左辺の定数項は $2$ であるから、係数を比較して以下の等式を得る。

$$13c = 2$$

これを解いて $c = \frac{2}{13}$ を得る。よって、3次方程式は $(x^2-4x+13)\left(x+\frac{2}{13}\right) = 0$ と因数分解できる。これより、他の解は $2-3i$ と $-\frac{2}{13}$ である。

解説

実数係数の $n$ 次方程式において、複素数 $p+qi$ （$p,\ q$ は実数、$q \neq 0$）が解であるならば、その共役複素数 $p-qi$ も必ず解となる。この性質は入試数学において頻出であるため、確実に押さえておく必要がある。

本問は他の解を求めるだけでよいため、解法1のように解と係数の関係のうち「3つの解の積」だけを取り出して計算するか、解法2のように因数定理を用いて定数項だけを比較するのが最も素早い。 $x=2+3i$ を方程式に直接代入して実部と虚部に分け、$a,\ b$ の連立方程式を解いてから他の方程式を解く方法もあるが、計算量が膨らみ計算ミスのリスクが高まるため避けるのが無難である。