数学2 高次方程式問題 19 解説

方針・初手

与えられた方程式は係数が左右対称となっている4次方程式であり、相反方程式と呼ばれる。$x=0$ が解ではないことを確認したうえで、両辺を $x^2$ で割り、$x + \frac{1}{x} = t$ とおいて $t$ の2次方程式に帰着させる。

解法1

方程式 $2x^4 + x^3 + x^2 + x + 2 = 0$ において、$x=0$ を代入すると左辺は $2$ となり等式を満たさない。よって、$x \neq 0$ である。両辺を $x^2$ で割ると、

$$2x^2 + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$$

整理して、

$$2 \left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + \left( x + \frac{1}{x} \right) + 1 = 0$$

ここで、$t = x + \frac{1}{x}$ とおく。両辺を2乗すると $t^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ となるため、

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$$

これを先ほどの方程式に代入する。

$$2(t^2 - 2) + t + 1 = 0$$

展開して整理すると、

$$2t^2 + t - 3 = 0$$

左辺を因数分解して、

$$(t - 1)(2t + 3) = 0$$

よって、$t = 1, -\frac{3}{2}$ を得る。

(i) $t = 1$ のとき

$$x + \frac{1}{x} = 1$$

両辺に $x$ を掛けて整理すると、

$$x^2 - x + 1 = 0$$

解の公式を用いて解くと、

$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$$

(ii) $t = -\frac{3}{2}$ のとき

$$x + \frac{1}{x} = -\frac{3}{2}$$

両辺に $2x$ を掛けて整理すると、

$$2x^2 + 3x + 2 = 0$$

解の公式を用いて解くと、

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{7}i}{4}$$

以上より、求める解は $x = \frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}, \frac{-3 \pm \sqrt{7}i}{4}$ である。これらはすべて虚数解であり、「実数解を持たない」という問題文の記述とも一致する。

解説

係数が左右対称に並ぶ相反方程式の典型的な解法を問う問題である。奇数次数の相反方程式であれば必ず $x=-1$ を解に持つため因数定理を用いて次数を下げるが、本問のような偶数次数の場合は中央の項の文字（今回は $x^2$）で両辺を割り、$x + \frac{1}{x} = t$ と置換する手順が定石となる。方程式を解く過程で現れる $x \neq 0$ の確認を忘れないようにしたい。