数学2 高次方程式 問題 20 解説

方針・初手

高次方程式の解法である。因数分解を用いて方程式を $(1次式)(2次式)=0$ などの形に変形し、それぞれの因数が $0$ になるような $x$ の値を求める。基本的な因数分解公式や、因数定理を適切に活用して方程式を解き進める。

解法1

(1)

与えられた方程式は $x^3 - 8 = 0$ である。 左辺を因数分解すると、以下のようになる。

$$x^3 - 2^3 = 0$$

$$(x - 2)(x^2 + 2x + 4) = 0$$

したがって、

$$x - 2 = 0 \quad \text{または} \quad x^2 + 2x + 4 = 0$$

$x - 2 = 0$ より $x = 2$ である。 $x^2 + 2x + 4 = 0$ について、解の公式を用いると、

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}i$$

よって、解は $x = 2, -1 \pm \sqrt{3}i$ である。

(2)

与えられた方程式は $x^4 - 81 = 0$ である。 左辺を因数分解すると、以下のようになる。

$$(x^2)^2 - 9^2 = 0$$

$$(x^2 - 9)(x^2 + 9) = 0$$

さらに因数分解をして、

$$(x - 3)(x + 3)(x^2 + 9) = 0$$

したがって、

$$x - 3 = 0 \quad \text{または} \quad x + 3 = 0 \quad \text{または} \quad x^2 + 9 = 0$$

$x - 3 = 0$ より $x = 3$ である。 $x + 3 = 0$ より $x = -3$ である。 $x^2 + 9 = 0$ より $x^2 = -9$ となり、$x = \pm 3i$ である。

よって、解は $x = \pm 3, \pm 3i$ である。

(3)

与えられた方程式は $2x^3 - x^2 - 4x - 1 = 0$ である。 $P(x) = 2x^3 - x^2 - 4x - 1$ とおく。 $P(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) - 1 = -2 - 1 + 4 - 1 = 0$ となるので、因数定理より $P(x)$ は $x + 1$ を因数にもつ。

$P(x)$ を $x + 1$ で割ると、商は $2x^2 - 3x - 1$ となるため、次のように因数分解できる。

$$(x + 1)(2x^2 - 3x - 1) = 0$$

したがって、

$$x + 1 = 0 \quad \text{または} \quad 2x^2 - 3x - 1 = 0$$

$x + 1 = 0$ より $x = -1$ である。 $2x^2 - 3x - 1 = 0$ について、解の公式を用いると、

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$$

よって、解は $x = -1, \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$ である。

解説

(1) と (2) は $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ および $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ という基本的な因数分解公式を利用して解く問題である。虚数解を忘れないように注意が必要である。

(3) は因数定理を用いた高次方程式の解法の定石である。代入して $0$ になる値の候補は $\pm \frac{定数項の正の約数}{最高次項の係数の正の約数}$ から探すことができる。本問では最高次項の係数が $2$、定数項が $-1$ なので、候補は $\pm 1, \pm \frac{1}{2}$ となり、$x = -1$ で成り立つことに素早く気づけるかがポイントとなる。

答え

(1) $x = 2, -1 \pm \sqrt{3}i$

(2) $x = \pm 3, \pm 3i$

(3) $x = -1, \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$