数学2 高次方程式問題 23 解説

方針・初手

相反方程式（係数が左右対称に並ぶ方程式）の典型的な解法である。$x=0$ が解でないことを確認した後、両辺を $x^2$ で割り、$y = x + \frac{1}{x}$ とおいて $y$ の2次方程式に帰着させる。最後に実数解のみを求める点に注意して解き進める。

解法1

与えられた方程式は以下の通りである。

$$x^4 + 2x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$$

$x=0$ を代入すると $1=0$ となり成り立たないため、$x=0$ は解ではない。よって $x \neq 0$ であるから、方程式の両辺を $x^2$ で割ることができる。

$$x^2 + 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$

項を並べ替えて整理する。

$$\left( x^2 + \frac{1}{x^2} \right) + 2 \left( x + \frac{1}{x} \right) - 1 = 0$$

ここで、$y = x + \frac{1}{x}$ とおく。両辺を2乗すると、

$$y^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$

となり、これから

$$x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$$

が得られる。これらを先ほどの方程式に代入する。

$$(y^2 - 2) + 2y - 1 = 0$$

整理すると、

$$y^2 + 2y - 3 = 0$$

となる。これより $a=2, b=-3$ である。この $y$ の2次方程式を解くと、

$$(y+3)(y-1) = 0$$

$$y = -3, 1$$

となる。

次に、$y = x + \frac{1}{x}$ を用いて $x$ を求める。求めるのは $x$ の「実数解」であることに注意して場合分けを行う。

(i) $y = -3$ のとき

$$x + \frac{1}{x} = -3$$

両辺に $x$ をかけて整理する。

$$x^2 + 3x + 1 = 0$$

この方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5 > 0$ であるから、実数解をもつ。解の公式より、

$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$$

(ii) $y = 1$ のとき

$$x + \frac{1}{x} = 1$$

両辺に $x$ をかけて整理する。

$$x^2 - x + 1 = 0$$

この方程式の判別式を $D$ とすると、$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$ であるから、実数解をもたない。

(i), (ii) より、与えられた方程式の実数解は $x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$ である。

解説

4次方程式のうち、各項の係数が左右対称になっているものを相反方程式と呼ぶ。このタイプの方程式は、中央の次数の項（今回は $x^2$）で両辺を割り、$x + \frac{1}{x}$ などの塊を作ることで次数を下げて解くことができる。途中で得られる $x$ の2次方程式が虚数解をもつ場合があるため、本問のように「実数解を求める」という条件を見落とさないように注意が必要である。