数学2 高次方程式問題 24 解説

方針・初手

実数係数の方程式の虚数解は、互いに共役な複素数となる性質を利用する。また、最高次係数と定数項に着目し、整数解の候補を絞り込むことから手をつける。

解法1

$f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 1$ が整数 $\alpha$ を解に持つとすると、

$$\alpha^4 + a\alpha^3 + b\alpha^2 + c\alpha + 1 = 0$$

$$\alpha(\alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c) = -1$$

が成り立つ。$a, b, c$ は整数であり、$\alpha$ も整数であるから、$\alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c$ は整数となる。したがって、$\alpha$ は $-1$ の約数でなければならず、整数解は $1$ または $-1$ に限られる。

方程式 $f(x) = 0$ の4つの解のうち、2つの整数解を $\alpha, \beta$ とする。また、$f(x)$ は実数係数の多項式であるから、2つの虚数解は互いに共役な複素数となる。これを $p + qi, p - qi$ （$p, q$ は実数、$q \neq 0$）とおく。

虚数解を解に持つ2次方程式は、

$$\{x - (p + qi)\}\{x - (p - qi)\} = x^2 - 2px + p^2 + q^2 = 0$$

となる。$f(x)$ の最高次係数は $1$ であるから、$f(x)$ は次のように因数分解される。

$$f(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x^2 - 2px + p^2 + q^2)$$

両辺の定数項を比較すると、

$$\alpha \beta (p^2 + q^2) = 1$$

が成り立つ。ここで、$q \neq 0$ より $p^2 + q^2 > 0$ である。$\alpha, \beta$ は $\pm 1$ のいずれかであるから $\alpha \beta$ は整数であり、上式を満たすためには $\alpha \beta = 1$ かつ $p^2 + q^2 = 1$ でなければならない。

$\alpha \beta = 1$ を満たす整数の組は、$(\alpha, \beta) = (1, 1)$ または $(-1, -1)$ である。また、$2p = k$ とおくと、虚数解を解に持つ2次式は $x^2 - kx + 1$ と表せる。これが虚数解を持つための条件は、判別式を $D$ とすると $D = k^2 - 4 < 0$ であり、

$$-2 < k < 2$$

となる。

(i) $(\alpha, \beta) = (1, 1)$ のとき

$$\begin{aligned} f(x) &= (x - 1)^2 (x^2 - kx + 1) \\ &= (x^2 - 2x + 1)(x^2 - kx + 1) \\ &= x^4 - (k + 2)x^3 + (2k + 2)x^2 - (k + 2)x + 1 \end{aligned}$$

係数を比較して、

$$a = -k - 2, \quad b = 2k + 2, \quad c = -k - 2$$

$a, b, c$ は整数であるから、$k$ も整数である。$-2 < k < 2$ を満たす整数 $k$ は $-1, 0, 1$ であり、それぞれ代入すると以下の組を得る。

$k = -1$ のとき、$(a, b, c) = (-1, 0, -1)$
$k = 0$ のとき、$(a, b, c) = (-2, 2, -2)$
$k = 1$ のとき、$(a, b, c) = (-3, 4, -3)$

(ii) $(\alpha, \beta) = (-1, -1)$ のとき

$$\begin{aligned} f(x) &= (x + 1)^2 (x^2 - kx + 1) \\ &= (x^2 + 2x + 1)(x^2 - kx + 1) \\ &= x^4 - (k - 2)x^3 - (2k - 2)x^2 - (k - 2)x + 1 \end{aligned}$$

係数を比較して、

$$a = -k + 2, \quad b = -2k + 2, \quad c = -k + 2$$

同様に $-2 < k < 2$ を満たす整数 $k = -1, 0, 1$ を代入して以下の組を得る。

$k = -1$ のとき、$(a, b, c) = (3, 4, 3)$
$k = 0$ のとき、$(a, b, c) = (2, 2, 2)$
$k = 1$ のとき、$(a, b, c) = (1, 0, 1)$

解説

整数係数多項式の有理数解の候補が「定数項の約数 / 最高次係数の約数」に限られるという性質（有理根定理）を利用して、早い段階で整数解を $\pm 1$ に絞り込めるかが鍵となる。また、実数係数方程式の虚数解が共役になることを用いて、虚数解を含む2次式を $x^2 - kx + p^2 + q^2$ の形に設定することで、係数比較をスムーズに行うことができる。整数問題と方程式の解の性質を組み合わせた標準的な良問である。