数学2 高次方程式 問題 26 解説

方針・初手

3次方程式の解と係数の関係を利用して、与式の式の値を計算する。対称式の性質や、方程式と因数分解の関係式を用いると計算量が減る。

解法1

3次方程式の解と係数の関係より、

$$\alpha+\beta+\gamma = 1$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$$

$$\alpha\beta\gamma = -3$$

が成り立つ。

求める式のうち、前半部分は展開すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) &= \alpha\beta\gamma + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) + (\alpha+\beta+\gamma) + 1 \\ &= -3 + 2 + 1 + 1 \\ &= 1 \end{aligned}$$

後半部分は対称式の変形公式を用いると、

$$\begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 &= (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ &= 1^2 - 2 \cdot 2 \\ &= 1 - 4 \\ &= -3 \end{aligned}$$

となる。

したがって、求める式の値は

$$\begin{aligned} (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) - (\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) &= 1 - (-3) \\ &= 4 \end{aligned}$$

である。

解法2

3次方程式 $x^3 - x^2 + 2x + 3 = 0$ の解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから、因数定理により次の恒等式が成り立つ。

$$x^3 - x^2 + 2x + 3 = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$$

この両辺に $x = -1$ を代入すると、

$$(-1)^3 - (-1)^2 + 2(-1) + 3 = (-1-\alpha)(-1-\beta)(-1-\gamma)$$

$$-1 - 1 - 2 + 3 = -(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$$

$$-1 = -(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)$$

ゆえに、$(\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1) = 1$ を得る。

また、解と係数の関係より、$\alpha+\beta+\gamma = 1$、$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 2$ であるから、

$$\begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 &= (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ &= 1^2 - 2 \cdot 2 \\ &= -3 \end{aligned}$$

となる。

よって、求める値は

$$1 - (-3) = 4$$

である。

解説

3次方程式の解に関する対称式の値を求める典型的な問題である。解と係数の関係を用いて基本対称式の値を求め、それらを代入して計算するのが基本方針となる。

解法2のように、方程式の左辺を因数分解した形である $P(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ という恒等式に着目し、適切な数値を代入することで式の値を直接求める手法は、計算ミスを減らす上で非常に有効である。$(\alpha-k)(\beta-k)(\gamma-k)$ のような形を見たら、$x=k$ の代入を考えるとよい。

答え

4