数学2 高次方程式問題 27 解説

方針・初手

3次方程式の解と係数の関係を用いて、解の基本対称式の値を求める。求めた基本対称式の値を用いて、各式の値を順次計算していく。分数式の和は通分して基本対称式で表す。また、高次式の値については、解が満たす元の方程式を利用して次数下げを行うのが定石である。

解法1

$x$ の3次方程式 $x^3+2x^2-3x+1=0$ の3つの解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから、3次方程式の解と係数の関係より

$$\alpha+\beta+\gamma = -2$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$$

$$\alpha\beta\gamma = -1$$

が成り立つ。したがって、$\alpha+\beta+\gamma = -2$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -3$ である。

次に、$\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma}$ について、通分して計算する。分子は

$$\begin{aligned} & (1-\beta)(1-\gamma) + (1-\alpha)(1-\gamma) + (1-\alpha)(1-\beta) \\ &= (1 - (\beta+\gamma) + \beta\gamma) + (1 - (\alpha+\gamma) + \alpha\gamma) + (1 - (\alpha+\beta) + \alpha\beta) \\ &= 3 - 2(\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ &= 3 - 2 \cdot (-2) + (-3) \\ &= 3 + 4 - 3 = 4 \end{aligned}$$

分母は

$$\begin{aligned} (1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma) &= 1 - (\alpha+\beta+\gamma) + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) - \alpha\beta\gamma \\ &= 1 - (-2) + (-3) - (-1) \\ &= 1 + 2 - 3 + 1 = 1 \end{aligned}$$

よって、

$$\frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma} = \frac{4}{1} = 4$$

である。

また、$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ の値は、

$$\begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 &= (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ &= (-2)^2 - 2 \cdot (-3) \\ &= 4 + 6 = 10 \end{aligned}$$

である。

さらに、$\alpha, \beta, \gamma$ は $x^3+2x^2-3x+1=0$ の解であるから、それぞれ代入して成り立つ。すなわち、

$$\alpha^3+2\alpha^2-3\alpha+1=0 \iff \alpha^3 = -2\alpha^2+3\alpha-1$$

$$\beta^3+2\beta^2-3\beta+1=0 \iff \beta^3 = -2\beta^2+3\beta-1$$

$$\gamma^3+2\gamma^2-3\gamma+1=0 \iff \gamma^3 = -2\gamma^2+3\gamma-1$$

これらを辺々加えると、

$$\begin{aligned} \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 &= -2(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2) + 3(\alpha+\beta+\gamma) - 3 \\ &= -2 \cdot 10 + 3 \cdot (-2) - 3 \\ &= -20 - 6 - 3 = -29 \end{aligned}$$

となる。

解法2

（[ウ]についての別解）

多項式 $P(x)$ を $P(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ とおく。展開した式より、

$$P(x) = x^3+2x^2-3x+1$$

である。$P(x)$ を微分すると、積の微分公式により、

$$P'(x) = (x-\beta)(x-\gamma) + (x-\alpha)(x-\gamma) + (x-\alpha)(x-\beta)$$

となる。ここで、直接微分すると $P'(x) = 3x^2+4x-3$ である。求める式は、

$$\begin{aligned} \frac{1}{1-\alpha}+\frac{1}{1-\beta}+\frac{1}{1-\gamma} &= \frac{(1-\beta)(1-\gamma) + (1-\alpha)(1-\gamma) + (1-\alpha)(1-\beta)}{(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)} \\ &= \frac{P'(1)}{P(1)} \end{aligned}$$

と表せる。 $P(1) = 1^3+2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 = 1$ $P'(1) = 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 - 3 = 4$ であるから、求める値は

$$\frac{4}{1} = 4$$

である。（注：分母の $(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$ の値が $P(1)$ に等しいことは、解法1の分母の計算においても有用な着眼点である）

解説

対称式の値を求める典型的な問題である。3次方程式の解と係数の関係を用いて基本対称式の値を求め、それらを利用して様々な対称式の値を計算する。

分数の和は通分して基本対称式で表すのが原則であるが、別解に示したように微分を用いると、展開の労力を大きく省くことができる。これは、対数微分法から導かれる $\frac{P'(x)}{P(x)} = \frac{1}{x-\alpha} + \frac{1}{x-\beta} + \frac{1}{x-\gamma}$ という関係式を背景としている。

3乗の和については、因数分解公式 $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$ を用いて計算することも可能である。しかし、本問では問題文に「$\alpha, \beta, \gamma$ が $x^3+2x^2-3x+1=0$ の解であることから」という明確な誘導があるため、これに乗って方程式を用いて次数下げ（3次式を2次以下の式で表す）を行う方が、計算の見通しが良く簡明である。