数学2 高次方程式問題 28 解説

方針・初手

複二次式（$x^4$ と $x^2$ と定数項のみからなる式）の因数分解を行う。$x^2 = t$ と置き換えても実数範囲で因数分解できない場合は、$A^2 - B^2$ の形（平方の差）を無理やり作る変形が有効である。本問は一部の係数が与えられているため、右辺を展開して係数比較をする方針でも容易に解くことができる。

解法1

$x^4 - 8x^2 + 4$ を $A^2 - B^2$ の形に変形して因数分解する。

$$\begin{aligned} x^4 - 8x^2 + 4 &= x^4 - 4x^2 + 4 - 4x^2 \\ &= (x^2 - 2)^2 - (2x)^2 \end{aligned}$$

ここで、平方の差の公式 $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ を用いると、

$$\begin{aligned} (x^2 - 2)^2 - (2x)^2 &= (x^2 - 2 - 2x)(x^2 - 2 + 2x) \\ &= (x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2) \end{aligned}$$

となる。問題文の式 $(x^2 - 2x + [カ])(x^2 + 2x + [キ])$ と定数項を比較すると、

$$[カ] = -2, \quad [キ] = -2$$

と求まる。

続いて、4次方程式 $x^4 - 8x^2 + 4 = 0$ の解を求める。因数分解の結果より、

$$(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2) = 0$$

したがって、以下の2つの2次方程式が得られる。

(i) $x^2 - 2x - 2 = 0$ のとき解の公式より、

$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$$

(ii) $x^2 + 2x - 2 = 0$ のとき解の公式より、

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$$

以上より、求める4次方程式の解は $x = 1 \pm \sqrt{3}, -1 \pm \sqrt{3}$ である。

解法2

恒等式として係数比較を行う。与えられた等式

$$x^4 - 8x^2 + 4 = (x^2 - 2x + カ)(x^2 + 2x + キ)$$

の右辺を展開する。

$$\begin{aligned} &(x^2 - 2x + カ)(x^2 + 2x + キ) \\ &= x^4 + 2x^3 + キx^2 - 2x^3 - 4x^2 - 2キx + カx^2 + 2カx + カキ \\ &= x^4 + (カ + キ - 4)x^2 + 2(カ - キ)x + カキ \end{aligned}$$

これが左辺 $x^4 - 8x^2 + 4$ と恒等的に等しいため、各次数の係数を比較すると以下の連立方程式が得られる。

$$\begin{cases} カ + キ - 4 = -8 \\ 2(カ - キ) = 0 \\ カキ = 4 \end{cases}$$

第2式より $カ = キ$ である。これを第1式に代入すると、

$$2カ - 4 = -8 \iff 2カ = -4 \iff カ = -2$$

ゆえに $キ = -2$ となり、これは第3式 $(-2) \times (-2) = 4$ も満たす。よって因数分解の結果は $(x^2 - 2x - 2)(x^2 + 2x - 2)$ となる。

これより方程式 $x^4 - 8x^2 + 4 = 0$ は、

$$x^2 - 2x - 2 = 0 \quad \text{または} \quad x^2 + 2x - 2 = 0$$

と同値であるから、それぞれを解の公式を用いて解くと、

$$x = 1 \pm \sqrt{3}, \quad -1 \pm \sqrt{3}$$

を得る。

解説

複二次式 $ax^4 + bx^2 + c$ の因数分解の典型問題である。$x^2=t$ とおいて因数分解できない場合は、平方完成の要領で $(x^2 + A)^2 - (Bx)^2$ という平方の差の形を作ることで因数分解が可能になる。本問は穴埋め形式であり、一部の式形が提示されているため、解法2のように展開して係数比較をする方針でも確実かつ素早く解くことができる。