数学2 高次方程式問題 29 解説

方針・初手

方程式に解の1つが与えられているので、直接代入して定数 $a$ の値を求めるのが基本方針である。しかし、本問のように式中に文字定数 $a$ が含まれている場合、まずは式を $a$ について整理することで、容易に因数分解できる形が現れることがある。因数分解ができれば計算量を大幅に減らすことができるため、代入計算を行う前に式の形を観察したい。

解法1

与えられた方程式の左辺を $a$ について整理する。

$$x^3 - (a+2)x^2 + (2a+6)x - 6a = 0$$

$$(x^3 - 2x^2 + 6x) - a(x^2 - 2x + 6) = 0$$

$$x(x^2 - 2x + 6) - a(x^2 - 2x + 6) = 0$$

$$(x-a)(x^2 - 2x + 6) = 0$$

これより、方程式の解は $x = a$ または $x^2 - 2x + 6 = 0$ の解である。

ここで、$x^2 - 2x + 6 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$$\frac{D}{4} = (-1)^2 - 1 \cdot 6 = -5 < 0$$

となるため、$x^2 - 2x + 6 = 0$ は実数解を持たない。

問題文より、方程式の解の1つは $\sqrt{2}$ であり、これは実数である。したがって、$x^2 - 2x + 6 = 0$ の解にはなり得ないため、$x=a$ の解でなければならない。

よって、$a = \sqrt{2}$ である。

他の解は、$x^2 - 2x + 6 = 0$ の解である。解の公式を用いてこれを解くと、

$$x = 1 \pm \sqrt{1^2 - 6} = 1 \pm \sqrt{5}i$$

となる。

解法2

$x = \sqrt{2}$ が方程式の解であるから、与式に代入して成り立つ。

$$(\sqrt{2})^3 - (a+2)(\sqrt{2})^2 + (2a+6)\sqrt{2} - 6a = 0$$

$$2\sqrt{2} - 2(a+2) + 2\sqrt{2}a + 6\sqrt{2} - 6a = 0$$

展開して整理すると、

$$(2\sqrt{2} - 8)a + 8\sqrt{2} - 4 = 0$$

$$(2\sqrt{2} - 8)a = 4 - 8\sqrt{2}$$

両辺を $2\sqrt{2} - 8$ （$\neq 0$）で割ると、

$$\begin{aligned} a &= \frac{4 - 8\sqrt{2}}{2\sqrt{2} - 8} \\ &= \frac{2 - 4\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 4} \\ &= \frac{(2 - 4\sqrt{2})(\sqrt{2} + 4)}{(\sqrt{2} - 4)(\sqrt{2} + 4)} \\ &= \frac{2\sqrt{2} + 8 - 8 - 16\sqrt{2}}{2 - 16} \\ &= \frac{-14\sqrt{2}}{-14} \\ &= \sqrt{2} \end{aligned}$$

このとき、元の方程式は以下のようになる。

$$x^3 - (\sqrt{2}+2)x^2 + (2\sqrt{2}+6)x - 6\sqrt{2} = 0$$

これは $x = \sqrt{2}$ を解に持つため、左辺は因数定理より $(x - \sqrt{2})$ を因数に持つ。左辺を因数分解すると、

$$(x - \sqrt{2})(x^2 - 2x + 6) = 0$$

他の解は $x^2 - 2x + 6 = 0$ の解であるから、解の公式を用いて、

$$x = 1 \pm \sqrt{5}i$$

となる。

解説

方程式の解が与えられている場合、基本的には代入して定数を決定するのが定石である。しかし、本問（解法1）のように特定の文字定数（今回は $a$ ）で整理することで、全体が簡単に因数分解できるケースも大学入試問題では頻出である。因数定理を用いた高次方程式の因数分解に頼らずとも、部分的な共通因数を見つけることで容易に解き進められることがあるため、式を観察する習慣をつけておきたい。

また、3次方程式の解に関する問題において、2次方程式部分が虚数解を持つために、実数解の候補が一つに絞られるという論理展開も重要である。