数学2 高次方程式問題 32 解説

方針・初手

4次方程式の解の公式を導出するオイラーの方法を背景とした誘導問題である。誘導に素直に従って計算を進める。

(1) は中間値の定理を用いる。端点での関数の値の符号が異なることを示せばよい。 (2) は与えられた $x$ の式を平方し、根号を減らすように移項してからさらに平方することで、4次方程式を作成する。 (3) は解と係数の関係から作られた3次方程式を解く。因数定理を用いて解を見つける。 (4) は二重根号を外し、$x$ の値を簡潔な形にした後、不等式評価によって値の範囲を絞り込む。

解法1

(1)

$P(x) = x^4 - 20x^2 - 8\sqrt{2}x + 32$ とおく。

$$P(4) = 4^4 - 20 \cdot 4^2 - 8\sqrt{2} \cdot 4 + 32 = 256 - 320 - 32\sqrt{2} + 32 = -32\sqrt{2} < 0$$

$$P(5) = 5^4 - 20 \cdot 5^2 - 8\sqrt{2} \cdot 5 + 32 = 625 - 500 - 40\sqrt{2} + 32 = 157 - 40\sqrt{2}$$

ここで、$157^2 = 24649$、$(40\sqrt{2})^2 = 3200$ であるから、$157 > 40\sqrt{2}$ より $P(5) > 0$ である。

$P(x)$ は連続関数であり、$P(4) < 0$ かつ $P(5) > 0$ であるから、中間値の定理より方程式 $P(x) = 0$ は区間 $(4, 5)$ に少なくとも1つの実数解を持つ。

(2)

$x = \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}$ の両辺を2乗すると、

$$x^2 = p + q + r + 2(\sqrt{pq} + \sqrt{qr} + \sqrt{rp})$$

$f = p+q+r$ より、

$$x^2 - f = 2(\sqrt{pq} + \sqrt{qr} + \sqrt{rp})$$

さらに両辺を2乗すると、

$$(x^2 - f)^2 = 4(pq + qr + rp + 2\sqrt{pq}\sqrt{qr} + 2\sqrt{qr}\sqrt{rp} + 2\sqrt{rp}\sqrt{pq})$$

$$x^4 - 2fx^2 + f^2 = 4 \{ pq + qr + rp + 2\sqrt{pqr}(\sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}) \}$$

$g = pq+qr+rp$、$h = pqr$、$x = \sqrt{p} + \sqrt{q} + \sqrt{r}$ を代入すると、

$$x^4 - 2fx^2 + f^2 = 4(g + 2\sqrt{h}x)$$

整理して、

$$x^4 - 2fx^2 - 8\sqrt{h}x + f^2 - 4g = 0$$

これと $x^4 - Ax^2 - Bx - C = 0$ を係数比較して、

$$A = 2f, \quad B = 8\sqrt{h}, \quad C = -f^2 + 4g$$

次に、これが方程式 $(*)$ すなわち $x^4 - 20x^2 - 8\sqrt{2}x + 32 = 0$ と一致すると仮定すると、

$$\begin{cases} 2f = 20 \\ 8\sqrt{h} = 8\sqrt{2} \\ -f^2 + 4g = -32 \end{cases}$$

第1式より $f = 10$。第2式と $p, q, r > 0$ より $h > 0$ であるから $h = 2$。第3式に $f = 10$ を代入して、$-100 + 4g = -32$ より $4g = 68$、よって $g = 17$。

(3)

(2)の結果より、考える3次方程式は次のようになる。

$$X^3 - 10X^2 + 17X - 2 = 0$$

左辺を $Q(X)$ とおくと、$Q(2) = 8 - 40 + 34 - 2 = 0$ となるため、因数定理より $X - 2$ を因数に持つ。

$$(X - 2)(X^2 - 8X + 1) = 0$$

$X^2 - 8X + 1 = 0$ を解くと、解の公式より、

$$X = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4}}{2} = 4 \pm \sqrt{15}$$

したがって、求める3つの解は $X = 2, 4 + \sqrt{15}, 4 - \sqrt{15}$ である。これらはすべて正の実数であるから、$p, q, r$ の値として適している。

(4)

対称性より、$p = 2$、$q = 4 + \sqrt{15}$、$r = 4 - \sqrt{15}$ としても一般性を失わない。

$$x = \sqrt{2} + \sqrt{4 + \sqrt{15}} + \sqrt{4 - \sqrt{15}}$$

二重根号を外すために、根号の中を整理する。

$$\sqrt{4 \pm \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{8 \pm 2\sqrt{15}}{2}} = \frac{\sqrt{5} \pm \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$

したがって、

$$x = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{10}$$

この $x$ が区間 $(4, 5)$ にあること、すなわち $4 < \sqrt{2} + \sqrt{10} < 5$ を示す。 $x > 0$ であるから、各辺を2乗した $16 < x^2 < 25$ を示せば十分である。

$$x^2 = (\sqrt{2} + \sqrt{10})^2 = 12 + 2\sqrt{20} = 12 + 4\sqrt{5}$$

$2 = \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} = 3$ であるから、

$$4 < 4\sqrt{5} < 12$$

各辺に $12$ を加えて、

$$16 < 12 + 4\sqrt{5} < 24 < 25$$

よって、$16 < x^2 < 25$ が成り立つ。$x > 0$ より $4 < x < 5$ であるから、解 $x = \sqrt{2} + \sqrt{10}$ は区間 $(4, 5)$ にあることが示された。

解説

オイラーによる4次方程式の解法をテーマにした問題である。一般的な4次方程式は、適切な変数変換により3次方程式（分解方程式）を解く問題に帰着させることができる。(2)の係数比較によって得られる3次方程式を解くことで元の4次方程式の解が得られる仕組みを、具体的な数値を通じて体感できる良問である。

(4)における二重根号の外し方は、$\sqrt{a+b \pm 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ (ただし $a>b>0$) を利用する定石通りであるが、根号の前に $2$ を作り出すために分母分子に $2$ を掛ける工夫が必要になる。不等式の証明では、おおよその値で見当をつけてから、2乗を比較するなどして厳密な評価を行うとよい。